ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке Тема: Сходимость числовых рядов

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Сумма числового ряда равна …

Решение:
Представим общий член этого ряда в виде суммы простейших дробей:
, и вычислим – ую частичную сумму ряда:
.
Тогда

ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Даны числовые ряды:
А) ,
В) .
Тогда …

			ряд А) сходится, ряд В) расходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) сходится

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Даны числовые ряды:
А)
В)
Тогда …

			ряд А) сходится, ряд В) расходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) сходится

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Сумма числового ряда равна …

Решение:
Так как , то сумма данного ряда представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. То есть

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Сходимость числовых рядов

Сумма числового ряда равна …

Решение:
Представим общий член этого ряда в виде:

Тогда ряды и представляют собой бесконечно убывающие геометрические прогрессии. Следовательно, эти ряды сходятся, причем:


Таким образом, сумма данного числового ряда равна:

ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Сходящимся является числовой ряд …

Решение:
Из представленных числовых рядов сходящимся является ряд Действительно, при применении признака сходимости Лейбница, получаем:
1)
2) для любого натурального справедливо
то есть последовательность монотонно убывает.
Следовательно, ряд сходится.
Для остальных рядов

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Числовой ряд сходится при , равном …

			0,5

Решение:
Применим интегральный признак сходимости Коши, то есть исследуем
на сходимость несобственный интеграл:


Таким образом, данный ряд сходится при например, при

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Расходящимся является числовой ряд …

Решение:
Из представленных числовых рядов расходящимся является ряд Действительно, так как при применении признака Даламбера, получаем:

Для остальных рядов аналогичный предел будет принимать значения, меньшие единицы.

ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Сумма числового ряда равна …

Решение:
Так как то сумма данного ряда представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. То есть

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Даны числовые ряды:
А)
В)
Тогда …

			ряд А) сходится, ряд В) расходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) сходится

Решение:
Для исследования сходимости ряда применим радикальный признак сходимости Коши. Тогда
то есть ряд сходится.
Для исследования сходимости ряда применим теорему сравнения, для чего воспользуемся расходящимся гармоническим рядом Тогда
то есть оба ряда расходятся или сходятся одновременно. В нашем случае ряд будет расходится.

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Даны числовые ряды:
А)
В)
Тогда …

			ряд А) сходится условно, ряд В) сходится абсолютно
			ряд А) сходится условно, ряд В) сходится условно
			ряд А) расходится, ряд В) сходится абсолютно
			ряд А) расходится, ряд В) сходится условно

Решение:
Для исследования сходимости знакочередующегося ряда применим признак сходимости Лейбница.
Тогда:
1) вычислим предел
2) для любого натурального справедливо
то есть последовательность монотонно убывает.
Следовательно, ряд сходится.
Теперь проверим ряд на абсолютную сходимость. Для этого составим знакоположительный числовой ряд и исследуем его сходимость по теореме сравнения с расходящимся обобщенным гармоническим рядом Тогда
То есть ряд расходится, следовательно, ряд сходится условно.
Теперь исследуем на сходимость ряд Этот ряд сходится абсолютно, так как при применении теоремы сравнения со сходящимся обобщенным гармоническим рядом получаем:

А это означает, что ряд сходится.

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов

Сходящимся является числовой ряд …

Решение:
Из представленных числовых рядов сходящимся является ряд Действительно, так как при применении теоремы сравнения со сходящимся обобщенным гармоническим рядом получаем:

А это означает, что ряд сходится.
Для рядов и не выполняется необходимое условие сходимости, а расходимость ряда устанавливается сравнением с гармоническим рядом.

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Даны числовые ряды:
А) ,
В) .
Тогда …

			ряд А) сходится, ряд В) расходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) сходится

ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Даны числовые ряды:
А) ,
В) .
Тогда …

			ряд А) расходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) сходится, ряд В) расходится

Решение:
Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости. Действительно, .
Для исследования сходимости ряда применим признак сходимости Даламбера. Тогда , то есть ряд сходится.

ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Даны числовые ряды:
А)
В)
Тогда …

			ряд А) сходится, ряд В) расходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) сходится

Решение:
Для исследования сходимости знакочередующегося ряда применим признак сходимости Лейбница.
Тогда:
1) вычислим предел
2) для любого натурального справедливо
то есть последовательность монотонно убывает.
Следовательно, ряд сходится.
Ряд расходится, так как

ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Сумма числового ряда равна …

Решение:
Представим общий член этого ряда в виде суммы

Тогда ряды и представляют собой бесконечно убывающие геометрические прогрессии. Следовательно, эти ряды сходятся, причем:


Таким образом, сумма данного числового ряда равна:

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Даны числовые ряды:
А)
В)
Тогда …

			ряд А) расходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) сходится, ряд В) расходится

Решение:
Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости. Действительно,
Для исследования сходимости ряда применим признак сходимости Даламбера. Тогда
то есть ряд сходится.

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Сходящимся является числовой ряд …

Решение:
Из представленных числовых рядов сходящимся является ряд Действительно, так как при применении радикального признака Коши, получаем:

Для остальных рядов аналогичный предел будет принимать значения, большие единицы.

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Сумма числового ряда равна …

Решение:
Представим общий член этого ряда в виде суммы простейших дробей:
и вычислим n – ую частичную сумму ряда:

Тогда

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Сумма числового ряда равна …

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Сходящимся является числовой ряд …

Решение:
Из представленных числовых рядов сходящимся является ряд Действительно, так как при применении теоремы сравнения со сходящимся обобщенным гармоническим рядом получаем:

А это означает, что ряд сходится.
Для рядов и не выполняется необходимое условие сходимости, а расходимость ряда устанавливается сравнением с гармоническим рядом.

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Область сходимости степенного ряда
Радиус сходимости степенного ряда равен …

Решение:
Радиус сходимости этого ряда можно найти по формуле где
Тогда

ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке
Тема: Сходимость числовых рядов
Расходящимся является числовой ряд …

Решение:
Из представленных числовых рядов расходящимся является ряд Действительно, так как при применении признака Даламбера, получаем:

Для остальных рядов аналогичный предел будет принимать значения, меньшие единицы.

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Область сходимости степенного ряда
Радиус сходимости равен для степенного ряда …

Решение:
Радиус сходимости равен для степенного ряда Действительно,

Дата добавления: 2015-08-28