Ряды (таблица-схема исследования)

Ряды (таблица-схема исследования)

Вид ряда, его тип	Схема исследования
ФОРМУЛЫ	1! 2! обобщенный гармонический ряд геометрическая прогрессия
I. Числовой знакоположительный ряд , - действительные числа, .	I.1. Применим необходимый признак: Если ряд сходится, то , при . Если , то ряд расходится. Если , то переходим к следующему пункту. I.2. Применим признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки Даламбера и радикальный Коши: Найдем (для признака Даламбера) или (для признака Коши), тогда если то ряд сходится если , то ряд расходится если , то о сходимости (или расходимости) ряда ничего сказать нельзя. Признак сравнения (в форме неравенств): Если для знакоположительных числовых рядов и начиная с некоторого номера , то если сходится, то сходится, если расходится, то расходится. больший меньший меньший больший Признак сравнения в предельной форме. Если для знакоположительных числовых рядов и при , то ряды сходятся или расходятся одновременно. В качестве рядов для сравнения выбираем ряды вида формул 1!и 2!. Интегральный признак Коши: Знакоположительный ряд и интеграл сходятся или расходятся «одновременно» при условии и – монотонно убывающая при функция.
II. Числовой знакочередующийся ряд , - действительные числа, .	II.1. Применим необходимый признак: Если ряд сходится, то , при . Если , то ряд расходится. Если , то переходим к следующему пункту. II.2. Применим признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов: Если и , то ряд сходится. II.3. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Ряд сходится абсолютно, если сходится ряд . Ряд сходится условно, если он сходится, а ряд расходится. Для сходимости знакоположительного ряда применяем пункт I.2.

III. Числовой знакопеременный ряд , где - действительные числа различных знаков.	III.1. Применим необходимый признак: Если ряд сходится, то , при . Если , то ряд расходится. Если , то переходим к следующему пункту. III.2. Исследуем на сходимость ряд (см. п. I.2): Если ряд сходится, то исследуемый ряд сходится абсолютно. Если ряд расходится, то исследуемый ряд не является типовым рядом, рассматриваемом в изучаемом курсе и требует применения признаков, изучение которых не входит в программу курса (признаки Дирихле и Абеля* сходимости знакопеременных рядов).
IV. Функциональный ряд , где - функции действительного переменного .	IV.1. Применим необходимый признак: Если ряд сходится на , то , при для любого . Если , то на множестве ряд расходится. Если , то для исследования на сходимость ряда на множестве переходим к следующему пункту. IV.2. Исследуем на сходимость ряд : Если ряд сходится на , то исследуемый ряд сходится на абсолютно. Если ряд расходится на , то исследуемый ряд не является типовым рядом, рассматриваемом в изучаемом курсе и требует применения признаков, изучение которых не входит в программу курса.
V. Степенные ряды , где - действительные числа, коэффициенты степенного ряда.	V.1. Находим радиус сходимости ряда: или . На множестве ряд сходится абсолютно. На множестве ряд расходится. В точках , т.е. и исследуем ряд с помощью пунктов I и II (числовые ряды получаем, подставляя в ряд вместо последовательно и ).

* Признак Абеля. Ряд сходится, если: 1) ряд сходится; 2) числа образуют монотонную и ограниченную последовательность.

Признак Дирихле. Ряд сходится, если: 1) частичные суммы ограничены в совокупности; 2) последовательность монотонно стремится к нулю при .

Дата добавления: 2015-08-28