Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова



Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

 

Физико-математический факультет

Кафедра методики преподавания математики

 

СОШКМ

 

 

« Расстояния от точки до прямой и уравнения »

 

Выполнил (а): студент(ка)

группы ФМ-11-07

Евгеньева Надежда

 

Пусть дана прямая L и точка B. Расстояние от точки B на прямую L называется длина перпендикуляра, опущенного из точки B до прямой L. Если прямая L задана уравнением

L: au+bv+c=0, то расстояние её от B(x0,y0) определяется по формуле: d=

Очевидно, что для любой точки A(x,y), лежащей на L, справедливо неравенство , которое обращается в равенство в том и только том случае, когда точка A является точкой пересечения прямой L с прямой, перпендикулярной L и проходящей через точку В.

Пусть заданы точка B и прямые L1 , L2, …, Ln, где , пронумерованы в порядке следования точек пересечения этих прямых с перпендикуляром BK опущенным из точки B на прямую Ln (от точки B). Эти прямые заданы параметрически u=xi; v=aixi+bi, i=1, 2, …, n соответственно и Ai(xi, aixi+bi)- произвольная точка прямой Li. Тогда уравнение

 

(1)

где d -расстояние от точки B до прямой Ln, является уравнением с n неизвестными, его левая часть-это длина ломаной BA1A2…An.

Поэтому левая часть уравнения не меньше его правой части; равенство имеет место лишь тогда, когда точки Ai является точкой пересечения прямых Li с отрезком BK. Уравнение (1) равносильно системе n-1 уравнений:

Каждое уравнение является уравнением с двумя неизвестными. Уравнение такого вида легче решать геометрически.

Пример 1. Решите уравнение .

Геометрический метод. Запишем уравнение в виде (1).

Рассмотрим на координатной плоскости OUV прямые L1 и L2, заданные соответственно уравнениями u=y, v=y и u=x, v=0, точку лежащую на L1, точку лежащую на L2 и точку .

d =3.

Тогда уравнение можно записать как

,

где d –расстояние от точки B до прямой L2.

Ясно, что левая часть уравнения не меньше его правой части, и равенство имеет место тогда и только тогда, когда точка A2 совпадает с точкой K (K- основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую L2), точка A1 совпадает с точкой A1 ( с точкой пересечения прямой L2 с отрезком BK). Отсюда следует, что x=y=2.

Пример2. При любом натуральном решите уравнение

.

Геометрический метод: На координатной плоскости OUV рассмотрим точку прямые L1,L2,…, Ln-1, заданные соответственно уравнениями v=u/k, где k=1,2,…,n-1, прямую Ln, заданную уравнением v=0 и точку , где k=1,2,…,n-1, лежащую на прямой Lk, а такжеточку - на прямой Ln.



 

=>

=>

=>

Тогда уравнение записывается в виде

,

где d –расстояние от точки B до прямой Ln, т.е. имеет вид

Ясно, что упорядоченный набор (x1, x2, …, xn) будет решением уравнения т.и т. т. к. точки Ak лежат на прямой ортогональной прямой Ln и проходящей через точку B. Уравнение такой прямой имеет вид

u=2

Поэтому абсциссы точек Ak равны 2, значит, xk=2/k, где k=1,2,…,n.

Т.к. u=2 Ak(kxk; xk) kxk=2 => xk=2/k.

Пример 3: Решите уравнение .

Геометрический метод: Пусть , , , , .

, ,

, , .

Тогда левая часть уравнения – это левая часть неравенства

для этого случая (длина ломаной A1A2A3), правая часть – это расстояние от точки A1 до прямой L3.

Поскольку начало координат O(0;0) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки A1 на прямую L3, то y=0. Прямая L2 пересекает прямую L1 (отрезок OA1) в точке О. Поэтому x=0. Следовательно, уравнение имеет единственное решение x=0, y=0.


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 109 | Нарушение авторских прав




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Авторский семинар Макена Исакова | Министерство образования и науки Российской Федерации

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)