Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Физико-математический факультет

Кафедра методики преподавания математики

СОШКМ

« Расстояния от точки до прямой и уравнения »

Выполнил (а): студент(ка)

группы ФМ-11-07

Евгеньева Надежда

Пусть дана прямая L и точка B. Расстояние от точки B на прямую L называется длина перпендикуляра, опущенного из точки B до прямой L. Если прямая L задана уравнением

L: au+bv+c=0, то расстояние её от B(x₀,y₀) определяется по формуле: d=

Очевидно, что для любой точки A(x,y), лежащей на L, справедливо неравенство , которое обращается в равенство в том и только том случае, когда точка A является точкой пересечения прямой L с прямой, перпендикулярной L и проходящей через точку В.

Пусть заданы точка B и прямые L₁ , L₂, …, L_n, где , пронумерованы в порядке следования точек пересечения этих прямых с перпендикуляром BK опущенным из точки B на прямую L_n (от точки B). Эти прямые заданы параметрически u=x_i; v=a_ix_i+b_i, i=1, 2, …, n соответственно и A_i(x_i, a_ix_i+b_i)- произвольная точка прямой L_i. Тогда уравнение

(1)

где d -расстояние от точки B до прямой L_n, является уравнением с n неизвестными, его левая часть-это длина ломаной BA₁A₂…A_n.

Поэтому левая часть уравнения не меньше его правой части; равенство имеет место лишь тогда, когда точки A_i является точкой пересечения прямых L_i с отрезком BK. Уравнение (1) равносильно системе n-1 уравнений:

Каждое уравнение является уравнением с двумя неизвестными. Уравнение такого вида легче решать геометрически.

Пример 1. Решите уравнение .

Геометрический метод. Запишем уравнение в виде (1).

Рассмотрим на координатной плоскости OUV прямые L₁ и L₂, заданные соответственно уравнениями u=y, v=y и u=x, v=0, точку лежащую на L₁, точку лежащую на L₂ и точку .

d =3.

Тогда уравнение можно записать как

,

где d –расстояние от точки B до прямой L₂.

Ясно, что левая часть уравнения не меньше его правой части, и равенство имеет место тогда и только тогда, когда точка A₂ совпадает с точкой K (K- основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую L₂), точка A₁ совпадает с точкой A^’₁ ( с точкой пересечения прямой L₂ с отрезком BK). Отсюда следует, что x=y=2.

Пример2. При любом натуральном решите уравнение

.

Геометрический метод: На координатной плоскости OUV рассмотрим точку прямые L₁,L₂,…, L_n-1, заданные соответственно уравнениями v=u/k, где k=1,2,…,n-1, прямую L_n, заданную уравнением v=0 и точку , где k=1,2,…,n-1, лежащую на прямой L_k, а такжеточку - на прямой L_n.

=>

=>

=>

Тогда уравнение записывается в виде

,

где d –расстояние от точки B до прямой L_n, т.е. имеет вид

Ясно, что упорядоченный набор (x₁, x₂, …, x_n) будет решением уравнения т.и т. т. к. точки A_k лежат на прямой ортогональной прямой L_n и проходящей через точку B. Уравнение такой прямой имеет вид

u=2

Поэтому абсциссы точек A_k равны 2, значит, x_k=2/k, где k=1,2,…,n.

Т.к. u=2 A_k(kx_k; x_k) kx_k=2 => x_k=2/k.

Пример 3: Решите уравнение .

Геометрический метод: Пусть , , , , .

, ,

, , .

Тогда левая часть уравнения – это левая часть неравенства

для этого случая (длина ломаной A₁A₂A₃), правая часть – это расстояние от точки A₁ до прямой L_3.

Поскольку начало координат O(0;0) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки A₁ на прямую L₃, то y=0. Прямая L₂ пересекает прямую L₁ (отрезок OA₁) в точке О. Поэтому x=0. Следовательно, уравнение имеет единственное решение x=0, y=0.

---

Дата добавления: 2015-08-27