В случае, когда периодическая функция имеет точки разрыва, ее также можно раскладывать в ряд Фурье, но равенство функции и суммы ряда будет только в точках непрерывности функции. В точках разрыва

В случае, когда периодическая функция имеет точки разрыва, ее также можно раскладывать в ряд Фурье, но равенство функции и суммы ряда будет только в точках непрерывности функции. В точках разрыва ряд Фурье будет сходиться к полусумме значений функции слева и справа от точки разрыва: .

Возможно разложение функции в ряд Фурье с помощью MAXIMы. Мы получим все коэффициенты ряда Фурье для функции , заданной на отрезке и -периодически продолженной на всю вещественную ось, если введем load(fourie); fourier (f(x),x,t) и нажмем Shift+Enter.

П р и м е р. Получим коэффициенты ряда Фурье для функции . Для этого введем load(fourie); fourier(%e^x,x,%pi), нажмем Shift+Enterи получим

Мы видим, что коэффициенты содержат выражения . Поэтому преобразуем коэффициенты:

Для того, чтобы не только вычислить коэффициенты ряда Фурье, но и получить разложение функции , заданной на отрезке и –периодически продолженной на всю вещественную ось в ряд Фурье, следует

ввести load(fourie); totalfourier (f(x),x,T) и нажать Shift+Enter.

П р и м е р. Для разложения в ряд Фурье функции из предыдущего примера введем load(fourie); totalfourier (%e^x, x, %pi). При этом получим разложение

Следует отметить, что частные суммы ряда Фурье приближают исходную функцию не в конкретных точках, а «в среднем по отрезку».

Сравним заданную функцию , и 9-ю частную сумму ряда Фурье на одном графике. Для этого сначала введем функцию , совпадающую с 9-й частной суммой, а затем нарисуем функцию (черным цветом) и функцию (красным цветом) на одном графике над отрезком : g(x):=-(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1)*sum((n*(-1)^n* sin(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+ 1)*sum(((-1)^n*cos(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi +1))/(2*%pi);

load(draw); draw2d(explicit(%e^x,x,-%pi,%pi), color=red, explicit(g(x),x,-%pi,%pi)).

В результате получим картину

Здесь видно, что в конечных точках отрезка, где функция , при периодическом продолжении с отрезка в другие точки вещественной оси терпит разрыв, график частной суммы ряда Фурье (красная линия) значительно отличается от графика экспоненциальной функции. Если брать частную сумму с большим количеством членов, то график частной суммы будет теснее приближаться к исходной функции во внутренних точках интервала , но вблизи точек поведение будет тем же из-за разрыва исходной функции при периодическом продолжении.

Какие же функции можно раскладывать в ряды Фурье так, чтобы построенный ряд сходился к самой функции во всех точках, кроме точек разрыва функции? И к каким значениям сходится ряд Фурье в точках разрыва соответствующей функции? Ответ на этот вопрос дает теорема Дирихле.

Пусть функция на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва, пусть в каждом интервале отрезка задания функция монотонна или имеет конечное число точек экстремума. Тогда соответствующий ряд Фурье сходится на отрезке к самой функции в точках непрерывности функции, в точках разрыва функции соответствующий ряд Фурье сходится к значению .

Замечание. Поскольку , где , иногда гармониками называют выражения вида и представляют функцию в виде разложения в ряд по

таким гармоникам. Здесь называется амплитудой, а начальной фазой гармоники.

Дата добавления: 2015-08-28