1. Принятие решений в условиях риска.

1. Принятие решений в условиях риска.

Задача в условиях риска состоит в том, что из-за случайности влияния отдельных факторов, например, внешней среды, с каждой принимаемой стратегией Х_i связано множество возможных результатов Y_j с известными вероятностями p(Y_j,X_i), j=1,2,...,J; i=1,2,...,I. При этом достигается эффект V(Y_j, X_i).

Обобщенной оценкой стратегии X_i является величина ожидаемого эффекта V_o(X_i), рассчитываемая по формуле .

Если в качестве исходных параметров известны вероятности различных состояний среды, то обобщенная оценка V_o(X_i) стратегии X_i определяется по формуле:

,

где R – общее число возможных состояний внешней cреды; P(U_r)– вероятность нахождения внешней среды в состоянии U_r (r=1, 2,...,R);V(X_i,U_r) – эффект, который складывается при стратегии X_i и состоянии среды U_r.

Принятие решений в условиях риска состоит в определении оптимальной стратегии X_i как

,

где V_o(X_i) – оценки эффективности (полезности) для стратегий X_i, i =1,2,...,I.

2. Принятие решений в условиях неопределенностей (критерий Вальда).

При принятии решений в условиях неопределенности информация о состоянии внешней среды (природы) неизвестна принимающему решение (наблюдателю).

Относительно состояния среды наблюдатель может высказывать определенные гипотезы. Такие предположения о вероятном состоянии среды называется субъективными вероятностями P(U_r), r=1,2,...,R. В этом случае имеет место задача принятия решений в условиях риска.

В условиях неопределенности вероятности возможных состояний среды неизвестны. Для выбора оптимальной стратегии в условиях неопределенности предложен ряд критериев:

критерий Вальда (критерий "осторожного наблюдателя"), который основывается на предположении, что среда будет находится в неблагоприятном состоянии, и имеет решающее правило

.

3. Принятие решений в условиях неопределенностей (критерий Гурвица).

При принятии решений в условиях неопределенности информация о состоянии внешней среды (природы) неизвестна принимающему решение (наблюдателю).

Относительно состояния среды наблюдатель может высказывать определенные гипотезы. Такие предположения о вероятном состоянии среды называется субъективными вероятностями P(U_r), r=1,2,...,R. В этом случае имеет место задача принятия решений в условиях риска.

В условиях неопределенности вероятности возможных состояний среды неизвестны. Для выбора оптимальной стратегии в условиях неопределенности предложен ряд критериев:

Критерий Гурвица основывается на следующем решающем правиле:

,

где k_d – коэффициент доверия.

По нему предполагается, что среда находится с вероятностью k_d в благоприятном состоянии и с 1- k_d в неблагоприятном. При k_d = 0 получаем критерий Вальда, а при k_d = 1

–стратегия "здорового оптимиста".

4. Принятие решений в условиях неопределенностей (критерий Лапласа).

При принятии решений в условиях неопределенности информация о состоянии внешней среды (природы) неизвестна принимающему решение (наблюдателю).

Относительно состояния среды наблюдатель может высказывать определенные гипотезы. Такие предположения о вероятном состоянии среды называется субъективными вероятностями P(U_r), r=1,2,...,R. В этом случае имеет место задача принятия решений в условиях риска.

В условиях неопределенности вероятности возможных состояний среды неизвестны. Для выбора оптимальной стратегии в условиях неопределенности предложен ряд критериев:

Критерий Лапласа (случай предположения о равновероятных состояниях среды) P(U₁)=P(U₂)=... =P(U_R) имеет решающее правило

.

5. Принятие решений в условиях неопределенностей (критерий Сэвиджа).

При принятии решений в условиях неопределенности информация о состоянии внешней среды (природы) неизвестна принимающему решение (наблюдателю).

Относительно состояния среды наблюдатель может высказывать определенные гипотезы. Такие предположения о вероятном состоянии среды называется субъективными вероятностями P(U_r), r=1,2,...,R. В этом случае имеет место задача принятия решений в условиях риска.

В условиях неопределенности вероятности возможных состояний среды неизвестны. Для выбора оптимальной стратегии в условиях неопределенности предложен ряд критериев:

Критерий Сэвиджа (критерий минимизации "сожалений") основывается на расчете "сожалений" , равных полезности результата при данном состоянии среды U_r относительно наилучшего решения в зависимости от стратегии X_i как :

.

К рассчитанным сожалениям применяется решающее правило

.

Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды неблагоприятное.

Выбор одного из вышеуказанных критериев в качестве решающего производится принимающим решение.

6. Программное обеспечение компьютеров.

Программное обеспечение компьютеров можно разделить на следующие виды: системное (операционные системы); системы программирования; прикладное.

Операционные системы (ОС) – это набор программ, осуществляющих управление работой компьютера.

Функции ОС:

связь с пользователем в реальном времени для подготовки устройств к работе, переопределение конфигурации и изменение состояния системы;

выполнение операций ввода-вывода с обработкой прерываний, запросов и распределением их между устройствами;

управление памятью, связанное с распределением оперативного запоминающего устройства (ОЗУ, RAM) между прикладными программами;

управление файлами с обеспечением их защиты, выборки и ограничения доступа;

обработка исключительных условий во время выполнения задачи – ошибок, прерываний;

вспомогательные функции по обеспечению организации сетей, использованию служебных программ.

Для 8-ми разрядных машин с процессором типа 8080 наиболее часто применялась операционная система CP/M (Control Programm for Microcomputer), 16-ти разрядных – MS DOS фирмы "Microsoft".

Для 32-х разрядных машин могут применяться система MS DOS, многозадачные системы OS/2 и LINUX, многопользовательская многозадачная операционная система UNIX. Система Windows с версии 95 и выше также выполняет функции операционной системы.

Системное программирование кроме непосредственно операционной системы содержит также ряд внешних утилит, обеспечивающих сервисное обслуживание работы пользователя.

Программирование может осуществляться в машинных кодах и на символьных языках.

Символьные языки подразделяются на алгоритмические и машинно-ориентированные.

Машинно-ориентированные языки учитывают структуру конкретной машины – Ассемблер, Макроассемблер.

Алгоритмические языки практически машиннонезависимы. Наибольшее распространение получили Basic (Бейсик) – варианты Quick, Turbo, Visual; Cobol (Кобол); Fortran(Фортран); Pascal (Паскаль); C (Си); Lisp (Лисп) – для машинной графики; Prolog (Пролог) – для обработки логической информации; Smoltok (Смолток), система программирования Delphi (Делфи) – объектноориентированные.

Для удобного общения с компьютером кроме ОС используются оболочки (FAR manager, Norton Commander, DOS Navigator, Volkov Commander, Windows Commander и др.). Большинство современных систем программирования также представляют собой среду со своим головным меню, редактором, транслятором, компоновщиком (редактором связей, сборщиком), отладчиком.

Прикладное программирование подразделяется на пакеты прикладных программ и программы пользователя.

Пакеты прикладных программ охватывают инструментальные средства, интегрированные, функционально ориентированные и проблемно ориентированные пакеты.

Инструментальные средства представляют собой диагностические, тестовые, антивирусные пакеты и т.п.

Для интегрированных пакетов характерно следующее:

· совместимость записи данных, дающая возможность их вызова различными средствами для различных целей;

· возможность продолжить выполнять свою функцию, если понадобилось на время переключиться на другую;

· преемственность различных типов команд и методов работы с меню.

Интегрированные пакеты позволяют работать с пакетами, базами данных, графикой, создавать прикладные программы, поддерживать связь с другими компьютерами. Примерами таких пакетов являются Windows Office, Works, Lotus и др.

К функционально ориентированным пакетам относятся программы работы с текстом, обработки электронных таблиц, организации баз данных, поддержки интерактивной графики, функционирования экспертных систем и т.п. Примерами являются пакеты машинной графики (AutoCAD, Компос), графические редакторы (Adobe PhotoShop, Adobe Premiere, CorelDraw, PowerPoint), электронные таблицы и деловая графика (SuperCalc, Exсel, QuattroPro, Grapher), СУБД (Access, Clarion, Clipper, dBase, FoxBase, FoxPro, FoxGraph, Ingres, Paradox и др.), редакционно-издательские системы (PageMaker, Ventura Publisher), анимационные (3D Studio MAX и др.).

Проблемно-ориентированные пакеты охватывают различные сферы применения: математика, экономика, транспорт, бухгалтерский учет и др. Для разнообразных задач математической статистики могут служить пакеты программ Statistica и "Олимп". Программы Matlab, Gauss, Assyst, Eurica, Maple V, Mathematica, MathCad предназначены для решения задач матричной и векторной алгебры, векторного анализа, решения систем линейных и нелинейных уравнений. Некоторые из них позволяют выполнить преобразование математических выражений в символьной форме (упростить выражение или представить в другом виде), найти вид неопределенного интеграла.

Работа пользователя в пакетах производится с помощью "меню". Максимальное число альтернатив, содержащихся в "меню", различно. Обычно принимают равным 7±2 (7 – число по Миллеру).

Через меню могут запускаться программы из командного файла или из головной программы, а также ветвится выполнение программы (подпрограммы). Меню может быть одномерным, двумерным, аналогичным картотеке и представлено в виде алфавитно-цифровой информации и графических изображений. Активизация функций может производиться по набору ключевого символа, по нажатию клавиш ("Ввод", функциональных и др.) клавиатуры или кнопок манипуляторов ("мышки", джойстика и т.п.) при нахождении маркера (стрелки) на месте соответствующего изображения.

При проектировании пакета прикладных программ должны быть определены следующие характеристики:

1. Состав исходного текста

1.1. Единый текст

1.2. Отдельные текстовые модули

2. Структура исполняемой программы

2.1. Единый модуль, полностью загружаемый в ОЗУ при запуске

2.2. Несколько сегментов, загружаемых в ОЗУ по мере необходимости

2.3. Резидентная часть, загружаемая в ОЗУ в начале сеанса, и одна или несколько нерезидентных частей, загружаемых по мере необходимости.

3. Способы хранения данных на внешнем постоянном запоминающем устройстве (ВПЗУ)

3.1. Все данные располагаются в одном файле

3.2. Данные распределены по нескольким файлам.

По пункту 1 влияние на способ разработки, по 2 – на ОЗУ и быстродействие, по 3 – на быстродействие при доступе к данным и характер использования внешней памяти.

Применение подпрограмм, процедур, функций и других отдельных программных модулей обеспечивает структурирование программ на уровне исходных текстов, объектных модулей и выполняемых программ. Под объектным модулем понимается преобразованный в машинные коды (транслированный) текст программы. Может применяться подстановка – включение перед трансляцией в текст основной программы текстов других модулей. Исходные тексты модулей могут формироваться в виде библиотек. Отдельные модули можно также транслировать независимо друг от друга и связывать только на стадии компоновки исполняемой программы (загрузочного модуля). Скомпонована программа может из модулей, разработанных на различных языках. Выполняется сборка программы с помощью редактора связей (компоновщика). При таком подходе к программированию создаются библиотеки объектных модулей. В системах программирования могут иметься библиотеки стандартных процедур (функций и подпрограмм).

При создании перекрывающихся (оверлейных) сегментов программа состоит из отдельных частей, которые при ее выполнении загружаются в ОЗУ по мере необходимости. Корневой сегмент находится постоянно в ОЗУ. Он содержит обращения к процедурам, находящимся в оверлейных сегментах. Сегменты могут быть связаны в сложные древовидные структуры. Быстродействие системы падает из-за потерь времени на перезагрузку сегментов с внешнего накопителя.

Взаимодействие программ осуществляется с помощью командных файлов или управляющих программ.

Отдельные модули пакетов обычно создают (выделяют) по функциональному принципу: ввод данных, корректировка данных, расчетная часть, графическое представление результатов, вывод (печать) результатов.

Межмодульный информированный обмен может осуществляться через общие области ОЗУ и файлы на ВПЗУ. В случае необходимости обмена при разнесенном во времени исполнении программ или модулей применяется обмен через файлы на ВПЗУ.

Пакеты прикладных программ должны обладать функциональной полнотой, информационной целостностью модуля и логической его завершенностью. Достоверность программного обеспечения отрабатывается и проверяется на контрольных примерах. Тестирование должно быть произведено для всех возможных вариантов расчетов и значений исходных данных. При наличии ограничений на исходные данные об этом должно сообщаться пользователю. Документация на программные изделия должна отвечать стандартам Единой системы программной документации (ЕСПД).

Решение систем линейных уравнений

Исходный вид системы:

a_1,1 x_{1 +... +} a_1,i x_{i +... +} a_1,p x_{p =} b₁

_...

a _j1 x_{1 +... +} a _j,i x_{i +... +} a _j,p x_{p =} b_j

_...

a _p1 x_{1 +... +} a_p,i x_{i +... +} a_p,p x_{p =} b_p

где a _i,j – коэффициенты системы при неизвестных; b_i – свободные члены.

В свернутом виде система описывается следующим выражением:

, i=1,2, …, p, j=1,2, …, p.

В матричном виде система имеет вид

А * Х = В,

a_1,1... a_1,i... a_1,p

...

где А = a_j,1 ... a_j,i ... a_j,p

...

a _p,1... a _p,i... a _pp

b₁

...

B = b_j

...

b_p

X = { x_1, x_2,..., x_p }.

Требуется найти значения Х, удовлетворяющие всем уравнениям системы.

Методами решения систем линейных уравнений являются: метод подстановок, метод последовательного исключения переменных, метод Крамера (матричный метод). Могут также применяться методы решения систем нелинейных уравнений.

Метод подстановок (последовательного выражения переменной из одного уравнения и подстановки в другое) не удобен для алгоритмизации расчетов при переменном числе переменных.

Метод последовательного исключения переменных (метод Гаусса) достаточно удобен для машинной реализации. При этом методе с помощью преобразований строк текущей системы (выравнивания коэффициентов при первой переменной текущей системы и взаимного вычитания из одного уравнения другого) получается система без первой переменной.

На каждом этапе таких последовательных преобразований получаем понижение числа переменных (на последнем этапе до одной):

a_1,1 x_{1 +... +} a_1,i x_{i +... +} a_1,p x_{p =} b₁

a'_2,2 x_{1 +... +} a'_2,i x_{i +... +} a'_2,p x_{p =}b'₂

...

х_р = b'_р,

где штрихом обозначены значения коэффициентов после преобразований.

Значение свободного члена для уравнения с одной переменной дает решение, например по переменной х_р (х_р=b'_р), Затем из одного из уравнений системы предпоследнего этапа находится х_р-1 и т.д., для 1-го – x₂ и из исходной системы – х₁. Разновидность– метод Гаусса с выбором главного элемента.

Метод Крамера основан на матричном исчислении и наиболее удобен с точки зрения составления алгоритма и его программной реализации на компьютере.

По методу Крамера

X = A^-1 B

или

x_i = det A_i / det A,

где А ^-1 – матрица, обратная матрице А;

A_i – матрица, полученная по матрице А с заменой в ней i- го столбца столбцом свободных членов (a_ji=b_j), j=1,2,…, p;

det – детерминант (определитель) матрицы.

Если det A равен нулю, то система не определена. При малых значениях det A система слабо обусловлена.

7. Решение систем нелинейных уравнений методами многомерной оптимизации.

Задача состоит в нахождении корней следующей системы уравнений

f _i (X) = 0 }, i=1,2,...,m,

где X = (x₁, x₂,...,x_m).

Для решения могут применяться следующие методы:

метод простых итераций;

метод Зейделя, отличающийся от метода простых итераций тем, что уточненные значения x_i сразу подставляются в последующие уравнения;

на основе методов поиска экстремума многомерных функций и др.

Решение с применением методов поиска экстремума (оптимизации) многопараметрических функций основано на том, что формируются функции вида

(*)

или

(**)

где f _i(X)=0, i = 1,m.

Сходимость в большой степени определяется тем методом, который будет применен для поиска минимума функции Z. Для решения минимальное значение функции Z должно быть равно нулю. Это условие является необходимым и достаточным. Если Z не равно нулю, то это указывает или на отсутствие решения или на неэффективный метод поиска минимума. При применении свертывания уравнений в функцию по (*) быстрее сходимость и ниже точность решения и для функции (**) наоборот.

8. Решение систем нелинейных уравнений методом простых итераций.

Задача состоит в нахождении корней следующей системы уравнений

f _i (X) = 0 }, i=1,2,...,m,

где X = (x₁, x₂,...,x_m).

Для решения могут применяться следующие методы:

метод простых итераций;

метод Зейделя, отличающийся от метода простых итераций тем, что уточненные значения x_i сразу подставляются в последующие уравнения;

на основе методов поиска экстремума многомерных функций и др.

Метод простых итераций состоит в реализации процесса по следующей формуле:

x _{i (k+1)} = F_i(X_k),

где F_i(X) = f _i(X) + x _i =x _i;

i – номер переменной;

k – номер итерации.

Итерации выполняются до тех пор, пока сохраняется хотя бы по одному из x _i условие

abs (x _i(k+1) - x _i(k)) > E,

где Е – заданная точность.

Метод обеспечивает сходимость, если ¶F _j(X) / ¶x _i £1, j Î 1,m; i Î 1,m.

Графическая интерпретация метода простых итераций (x_рi – решение)

9. Численное интегрирование (метод трапеций).

Численное интегрирование – это вычисление определенного интеграла

на основе многократных вычислений значений f(x). Применяется, если функция F(x) не может быть определена аналитически.

Такой интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной ординатами в точках a и b, осью абсцисс и линией графика подинтегральной функции f(x) (см. ниже рисунок).

Для численного интегрирования отрезок [a, b] разбивается на m частей, к каждой из которых применяется аппроксимация выбранной функцией (прямой, параболой, полиномом и т.п.).

Существует ряд методов численного интегрирования: прямоугольников, модернизированный прямоугольников, трапеций, Ньютона-Котеса (аппроксимация полиномом Лагранжа), Симпсона (аппроксимация параболой), Уэдлля (разбивка каждого из m отрезков на 6 частей), Чебышева (с неравномерным разбиением аргумента), Симпсона (кубатурная аппроксимация), Гаусса (кубатурная аппроксимация), Ромберга, Бодэ и др.

По методу трапеций

,

Численное интегрирование (методы прямоугольников)

Численное интегрирование – это вычисление определенного интеграла

на основе многократных вычислений значений f(x). Применяется, если функция F(x) не может быть определена аналитически.

Такой интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной ординатами в точках a и b, осью абсцисс и линией графика подинтегральной функции f(x) (см. ниже рисунок).

Для численного интегрирования отрезок [a, b] разбивается на m частей, к каждой из которых применяется аппроксимация выбранной функцией (прямой, параболой, полиномом и т.п.).

Существует ряд методов численного интегрирования: прямоугольников, модернизированный прямоугольников, трапеций, Ньютона-Котеса (аппроксимация полиномом Лагранжа), Симпсона (аппроксимация параболой), Уэдлля (разбивка каждого из m отрезков на 6 частей), Чебышева (с неравномерным разбиением аргумента), Симпсона (кубатурная аппроксимация), Гаусса (кубатурная аппроксимация), Ромберга, Бодэ и др.

По методу прямоугольников интеграл вычисляется по формуле

,

где x(i) = a + (i-1) h или x(i) = a + i h; h = (b - a)/m.

Модернизированный метод прямоугольников отличается правилом выбора расчетных точек x(i):

x(i) = a + h/2 + (i-1) h.

Графическая интерпретация численного интегрирования

f(x)

S

a i=1 2 3 4 5 6 b x

10. Системы массового обслуживания. Общие понятия.

Дата добавления: 2015-08-28