Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Марковизируемые потоки событий



Марковизируемые потоки событий

В работах по теории массового обслуживания в качестве модели входящего потока часто используется простейший поток. Это касается как фундаментальных работ, которые послужили базой построения теории, так и современных. В 1955 году А. Я. Хинчин сформулировал три условия, при выполнении которых случайный поток однородных событий является простейшим. Это условия стационарности, ординарности и отсутствия последействия. С тех пор это является основным определением простейшего потока.

Популярность этого потока долгое время объяснялась тем, что он вполне удовлетворительно описывал многие реальные потоки, а также простотой его исследования. В то же время было замечено, что простейший поток получается и в качестве предельного для некоторых последовательностей потоков. В связи с этим в середине ХХ века опубликован ряд работ, посвященных анализу сходимости суммы большого числа независимых потоков малой интенсивности к простейшему потоку. Среди них следует отметить работы К. Пальма, А. Реньи, Г. А. Ососкова, Б. И. Григелиониса и А. Я. Хинчина.

А. Реньи показал, что простейший поток может получаться не только в результате суммирования бесконечно малых независимых потоков. Он рассматривал произвольный поток восстановления и применял к нему операцию прореживания (с некоторой вероятностью каждое событие убиралось из рассматриваемого потока). Реньи доказал, что при многократном повторении этой операции и соответствующей нормировке времени рассматриваемый поток сходится к простейшему.

Таким образом, как для теоретических, так и для практических целей представляет интерес исследование таких последовательностей потоков, которые приводят к пуассоновским потокам.

В частности, в качестве существенного обобщения простейших потоков для более адекватного описания реальных потоков была предложена модель MAP-потока (Markovian Arrival Process). Его понятие впервые было введено М. Ньютсом, а затем уточнено Д. Лукантони в работе [27], которая также содержит первые исследования основных характеристик MAP-потоков. В русскоязычной литературе определения таких потоков даны в книгах Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко [2], А. Н. Дудина, В. И. Клименок [3], А. А. Назарова, С. П. Моисеевой [19].

Широко используемым частным случаем MAP-потоков является класс MMP-потоков (Markov Modulated Poisson Process).



Марковские входящие потоки (MMP, MAP) рассматриваются в качестве существенного обобщения простейших потоков. Так, например, подбирая параметры MAP-потока, можно получить рекуррентные и полумарковские потоки фазового типа. С другой стороны, можно подобрать параметры таким образом, чтобы MAP-поток являлся простейшим.

Рассмотрим условия, при выполнении которых MAP-поток является стационарным пуассоновским, то есть простейшим. Случайный поток однородных событий будем определять в виде случайного процесса r (t) – числа событий рассматриваемого потока, наступивших за время t.

Пусть эргодическая цепь Маркова k (t) с конечным числом состояний задана матрицей инфинитезимальных характеристик Q с элементами q ν k . Также задан набор неотрицательных чисел λ k и вероятности d ν k , причем dkk = 0, которые целесообразно определять матрицей D = [ d ν k ] и диагональной матрицей Λ с элементами λ k на главной диагонали.

Случайный поток однородных событий будем называть МАР-потоком (Markovian Arrival Process), управляемым эргодической цепью Маркова k (t),если выполняются равенства

,

,

,

.

Заметим, что пока управляющая цепь Маркова k (t) находится в некотором состоянии ν, события в МАР-потоке наступают как в простейшем с параметром λν. Кроме событий на интервалах постоянства состояний управляющей цепи, могут наступать события при переходах цепи из одного состояния в другое. Если управляющая цепь Маркова переходит из состояния ν в некоторое состояние k, событие в МАР-потоке наступает с вероятностью d ν k , а с вероятностью 1 – d ν k событие не наступает.

В MMP-потоке все d ν k = 0, то есть события могут наступать только на интервалах постоянства состояний управляющей цепи k (t).

Состояния управляющей цепи Маркова будем называть состояниями рассматриваемого потока.

Марковская RQ-система с конфликтами заявок

и входящим MМP-потоком

Рассмотрим однолинейную RQ-систему массового обслуживания с источником повторных вызовов, на вход которой поступает MMP-поток заявок, управляемый цепью Маркова, заданной матрицей инфинитезимальных характеристик и набором неотрицательных величин . Требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, распределённого по экспоненциальному закону с параметром . Если прибор занят, то поступившая и обслуживаемая заявки вступают в конфликт и переходят в источник повторных вызовов, где осуществляют случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром . Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если прибор свободен, то заявка из ИПВ занимает его на случайное время обслуживания (рисунок 5).

Рисунок 5 – Модель сети случайного доступа с входящим ММР-потоком

Пусть – число заявок в ИПВ, а определяет состояние прибора следующим образом:

Обозначим

вероятность того, что прибор в момент времени t находится в состоянии , управляющая цепь Маркова приняла состояние и в источнике повторных вызовов находится заявок.

Процесс изменения во времени состояний описанной системы является марковским.

Для распределения вероятностей состояний рассматриваемой RQ-системы составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова

В стационарном режиме эта система примет вид

Марковская RQ-система с конфликтами заявок

и входящим MAP-потоком

Рассмотрим однолинейную RQ-систему массового обслуживания с источником повторных вызовов, на вход которой поступает MAP-поток заявок, управляемый цепью Маркова, заданной матрицей инфинитезимальных характеристик , набором неотрицательных величин и набором вероятностей для всех . Требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, распределённого по экспоненциальному закону с параметром . Если прибор занят, то поступившая и обслуживаемая заявки вступают в конфликт и переходят в источник повторных вызовов, где осуществляют случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром . Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если прибор свободен, то заявка из ИПВ занимает его на случайное время обслуживания (рисунок 6).

Рисунок 6 – RQ-система с конфликтами заявок и входящим MAP-потоком

Пусть – число заявок в ИПВ, а определяет состояние прибора следующим образом:

Обозначим

вероятность того, что прибор в момент времени находится в состоянии , управляющая цепь Маркова приняла состояние и в источнике повторных вызовов находится заявок.

Процесс изменения во времени состояний описанной системы является марковским.

Для распределения вероятностей состояний рассматриваемой RQ-системы составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова

В стационарном режиме эта система примет вид

 

 


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 180 | Нарушение авторских прав




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Cash&Carry ерекшелігі - бұл: A) сауда залы мен қойманы бір орынға сыйдыру, төмен бағалар; | Э. А. ЖЕЛУБОВСКАЯ (ответственный редактор), 1 страница

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.015 сек.)