|
Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять диференційовності та регулярності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.
Теорема[ред. • ред. код]
Нехай функція диференційовна в області . Якщо скінченна область разом зі своєю межею в області , а , то
.
Доведення [ред. • ред. код]
Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при . Тому функція диференційовна в усіх точках області за винятаком точки . Візьмемо настільки малим, щоб круг належав області , і позначимо через область , з якої видалено точку , а через область , з якої видалено круг .
Функція диференційовна в області , і область лежить в області разом зі своєю межею (позначимо її через ). Отже, за інтегральною теоремою Кошіінтеграл по від дорівнює нулю. Проте складається з С та кола . Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому залишається зліва, а круг — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:
Інтеграл зліва не залежить від . Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення можна обирати довільно. Отже:
Підінтегральний вираз в обмежений при : він прямує до . Так як довжина дорівнює , а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то . Інтеграл обчислюиться при переході до параметричного запису рівняння кола :
Отже,
Оскільки ліва частина рівності не залежить від , то теорему доведено.
Наслідки[ред. • ред. код]
Оскільки це центральна формула всього комлексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:
· Поняття диференційовності та регулярності еквівалентні;
· Якщо функція має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки , то коефіційєнти ряду визначаються формулою:
де r — довільне додатне дійсне число;
· Якщо функція має похідні до n -ого порядку включно у точці , то вони визначаються за формулою
Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;
· Для комплесних інтегралів справедлива формула Ньютона—Лейбніца:
де — первісна для . Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.
Приклад[ред. • ред. код]
Для функції
обчислити значення інтегралу для контура
У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:
де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:
Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.
· Формула Коші-Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:
Нехай і — два степеневі ряди з радіусами збіжності і . Тоді
Якщо у ряду вільний член нульовий, тоді
Питання про збіжність ряду в точках межі круга збіжності потребує додаткового аналізу:
· Перша теорема Абеля: Нехай ряд є збіжним в точці . Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу рівномірно по на будь-якій компактній підмножині цього круга.
Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при , він є розбіжним при всіх , таких що . З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга (можливо, нульовий або нескінченний), що при ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по на компактних підмножинах круга ), а при ряд є розбіжним. Це значення називається радіусом збіжності ряду, а круг — кругом збіжності.
Ряд Те́йлора — розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.
Нехай функція нескінченно диференційована в деякому околі точки тоді ряд
має назву ряда Тейлора функції у точці . У випадку, якщо цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.
Якщо є аналітичною функцією, то її ряд Тейлора у будь-якій точці області визначення збігається до в деякому околі .
Розклад в ряд Маклорена для деяких функцій[ред. • ред. код]
Нижче наведені розклади в ряд Маклорена деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.
Експонента і натуральний логарифм:
для
Біноміальний розклад:
для і усіх комплексних де
Квадратний корінь:
для всіх
Геометричний ряд:
для
Скінченний геометричний ряд:
для всіх
Тригонометричні функції:
для
для де — числа Ейлера[en]
для
для
для
Гіперболічні функції:
для
для
для
52 дивись на 51
У комплексному аналізі теорема Ліувіля стверджує, що якщо ціла функція комплексних змінних є обмеженою, тобто
то — константа.
Доведення (для випадку )[ред. • ред. код]
Нехай обмежена на комплексній площині, тобто
Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної
Де — коло радіуса , що містить точку .
Маємо
Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контура, маємо
Тоді і, відповідно, є константою. Теорема доведена.
Узагальнення[ред. • ред. код]
· Якщо ― ціла функція в і для деякого ,
для достатньо великих |z|, то — многочлен від змінних степеня не вище .
Доведення для однієї змінної. Визначимо:
Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо
для достатньо великих |z|.
Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувіля і метод математичної індукції.
· Якщо ― дійсна гармонічна функція на всьому просторі ,
то — гармонічний многочлен від цих змінних.
Ряд Лорана — розклад комплексної функції f (z) у двосторонній степеневий ряд, що також містить доданки від'ємного степеня. Використовується для вираження комплексної функції у випадках, коли розклад в ряд Тейлора не може бути використаним. Ряди Лорана названі на честь П'єра Альфонса Лорана, що вперше опублікував свої дослідження цих рядів у1843 році. Карл Вейєрштрасс, можливо, використовував ці ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.
Для комплексної функції f (z), аналітичної у скінченому кільці з центром в точці c, в довільній точці кільця виконується:
де члени ряду an визначаються за формулою:
Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить в кільці і містить точку с.
Властивості[ред. • ред. код]
· Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:
· Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:
· Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:
· В своємі кільці збіжності ряд Лорана збігається абсолютно.
· Функція f (z) допускає єдиний розвиток в ряд Лорана в певній точці (якщо він існує).
Теорема Лорана[ред. • ред. код]
Функція f (z) однозначна і аналітична в скінченому кільці в довільній точці цього кільця допускає розвинення в збіжний ряд Лорана.
Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. В залежності від головної частини ряду, особливу точку визначають як:
· усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;
· простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;
· істотньо особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.
Особлива точка — точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.
Для багатозначних аналітичних функцій до особливих точок також відносять точки розгалужень.
Можливі дві класифікації особливих точок. Перша по теоретико-множинним властивостям:
· ізольована особлива точка — точка, для якої існує проколотий окіл, в якому ця функція аналітична.
· неізольована особлива точка — особлива точка, що не є ізольованою.
Види особливостей[ред. • ред. код]
· усувна особлива точка — точка, в якій функція не визначена, але границя функції існує і вона скінченна, отже, в цій точці функцію можна доповнити понеперервності.
· полюс — точка, в якій границя нескінченна. При розгляді функції як відображення не в комплексну площину, а на сферу Рімана, полюс не вважають особливою точкою (див. мероморфна функція).
· суттєво особлива точка — точка, в якій границя функції не визначена.
Особливі точки на ріманових поверхнях[ред. • ред. код]
Особливі точки також можна розглядати у голоморфних функцій, визначених на рімановіх поверхнях. Зокрема, якщо змінна z пробігає сферу Рімана, то особливість на нескінченності функції визначається за степенем «особливості» точки 0 для функції .
Ізольо́вана особли́ва то́чка — точка, в деякому проколотому околі якої функція однозначна і аналітична, а в самій точці або не задана, або не голоморфна.
Класифікація[ред. • ред. код]
Якщо — особлива точка для функції , то, будучи аналітичною в деякому проколотому околі цієї точки, вона розкладається в ряд Лорана, що збігається в цьому околі.
Перша частина цього розкладу називається правильною частиною ряду Лорана, друга — головною частиною ряду Лорана.
Тип особливої точки функції визначається по головній частині цього розкладу.
Лишок[ред. • ред. код]
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Не варто плутати з Залишком.
Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралівмероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.
Визначення[ред. • ред. код]
Нехай функція має ізольовану особливу точку однозначного характеру (або регулярна у цій точці). При скінченному лишком функції у точці називається величина
Оскільки — будь-яке достатньо мале додатне число, а — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.
Не складно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції по степеням в ряд Лорана є лишком цієї функції:
Лишок у «нескінченності»[ред. • ред. код]
Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції , тоді лишком у нескінченності називається число
,
де — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто протигодинникової стрілки).
Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розвинення в околі нескінченно віддаленої точки:
Логарифмічний лишок[ред. • ред. код]
Інтеграл виду
називається логарифмічним лишком функції відносно контура С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:
Методи обчислення лишків[ред. • ред. код]
На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.
Усувна особлива точка[ред. • ред. код]
В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то
Полюс[ред. • ред. код]
· Простий полюс у точці :
· Полюс кратності n у точці :
Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: , і , то:
Істотно особлива точка[ред. • ред. код]
У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розвинення в ряд Лорана. Наприклад:
Розвинемо та в ряд Лорана:
Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 154 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
ИП Конягина Инесса Владимировна | | | Дипломная работа: Социальная адаптация граждан уволенных с военной службы по контрактуНазвание: Социальная адаптация граждан уволенных с военной службы по контракту 1 страница |