1. Виды событий. Алгебра событий. Классическое определение вероятности.

1. Виды событий. Алгебра событий. Классическое определение вероятности.

Виды событий:

а. Достоверное – событие, которое при выполнении ряда условий обязательно произойдет.

б. Невозможное – событие, которое при выполнении ряда условий не произойдет.

в. Случайное – событие, которое при выполнении ряда условий может произойти, а может не произойти.

Алгебра событий:

Сумма 2-х событий А и В состоящий от появления событий А, либо событий В, либо событий А и В.

Произведением А и В, называются событий состоящие в совместном появлении 2-х этих событий.

Классическая вероятность – это величина теоретическая, для ее нахождения не нужно проводить испытаний.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема 1: Вероятностью суммы 2-х несовместных событий равны сумме вероятности этих событий.

Док-во: Пусть из n исходных испытаний событию А благоприятствует m₁, B – m₂. Тогда P(A) = m₁/n, P(B) = m₂/n.

По условию теоремы событий следует, не из событий m₁ не благоприятствует событие B, и не одно из m₂ не благоприятствует событие A.

Тогда (A+B) благоприятствует (m₁+m₂) исходит и P(A+B) = m₁ + m₂/n = m₁/n + m₂/n = P(A) + P(B)

Теорема 2: Вероятность сумма 2-х совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления.

Теорема 3: Вероятность совместного появления 2-х зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условие вероятности другого.

Теорема 4: Вероятность совместного появления 2-х независимых событий равна произведению вероятности этих событий.

3. Формула полной вероятности.

Вероятность событий А, которое может наступить лишь при условии появления событий B₁, B₂,…, B_n, которое образуют полную группу, равна сумме произведения вероятностей этих событий на соответствующие условия вероятности событий A.

Поскольку события B₁, B₂ … B_n образует полную группу то они не совместимы, следует по теореме 1, поскольку событие A зависит от событий B_i, то по теореме 3 умножение для зависимых событий можно записать.

4. Повторное независимое испытание.

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеется только два возможных исхода и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Схема Бернулли: испытания происходят независимо друг от друга и от испытания и испытания не изменяются вероятность наступления события и соответственно не изменяется вероятность не наступления.

5. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.

Формулы Бернулли: Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых события A появилось с вероятностью p и не появилось с вероятностью g. Тогда вероятность того, что событие A наступит равно k раз вычисляется по формуле:

Формула Муавра – Лапласа: Если вероятность p наступления события в одном испытании и отлична от 0 до 1, то вероятность того, что n независимых испытаний события появится равно k (тем точнее чем >n):

Где называется нормальной функцией Гауса, которая четка и табулирована.

Формула Пуассона: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, близка к нулю, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна:

, где λ=np

6. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные значения с определенной вероятностью.

а. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможностями, знаками и их вероятностями

X	X1	X2		xn
P	P1	P2		pn

б. Математическим ожидание дискретной случайной величины называют сумму произведения на соответствующей вероятности

в. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения и обозначается.

г. Средним квадратичным отклонением называется корень из дисперсии

Непрерывной называют случайную величину, которая принимает все значения из некоторого интервала.

7. Закон распределения ДСВ.

а. Вероятности зависит от g и по закону геометрической прогрессии, поэтому данный закон получил название геометрического.

Если, например, p – вероятность изготовления бракованной детали, то случайная величина X с этим законом распределения будет равна общему числу деталей до момента изготовления первой бра­кованной детали.

x					n
p	p	gp	g^2p		g^n-1p

б. Биномиальный закон распределения. Случайная величина может принимать значения 0,1,2,…,n и каждому значению X=m соответствует вероятность, где p+q=1. Этот закон распределения считается заданным, если известны числа n и p, через которые выражаются все вероятности. Случайную величину подчинённою этому закону можно назвать числом появлении события в n независимых опытах.

в. Гипергеометрический закон распределения. Возможные значения X: 0,1,…,n. И каждому значению X=m соответствует вероятность P(X=m)=P= . Эта случайная величина, например, равна числу m бракованных изделий среди n взятых наугад из партии объёма N, содержащей M бракованных изделий.

8. Функции плотности вероятностей. Функция распределения.

9. Числовые характеристики случайных величин.

Числовые характеристики случайной величины – это числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).

10. Биномиальный закон распределения. Распределение Пуассона. Равномерное, нормальное, показательное распределение.

число успехов в серии из n испытаний является случайной величиной, а формула (*) описывает распределение этой случайной величины и называется биномиальным законом распределения вероятности.

Заметим, что выражение представляет собой m-ый член биномиального разложения .

Следовательно,

, как того и требует понятие вероятности.

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

, где

обозначает факториал,

— основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром λ > 0, если её плотность имеет вид

11. Генеральная совокупность. Выборочный метод.

Генеральная совокупность — совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.

Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объект исследования.

12. Статистические методы обработки экспериментальных данных.

Статистические методы — методы анализа статистических данных. Выделяют методы прикладной статистики, которые могут применяться во всех областях научных исследований и любых отраслях народного хозяйства, и другие статистические методы, применимость которых ограничена той или иной сферой. Имеются в виду такие методы, как статистический приемочный контроль, статистическое регулирование технологических процессов, надежность и испытания, планирование экспериментов.

Классификация статистических методов

Статистические методы анализа данных применяются практически во всех областях деятельности человека. Их используют всегда, когда необходимо получить и обосновать какие-либо суждения о группе (объектов или субъектов) с некоторой внутренней неоднородностью.

Целесообразно выделить три вида научной и прикладной деятельности в области статистических методов анализа данных (по степени специфичности методов, сопряженной с погруженностью в конкретные проблемы):

а) разработка и исследование методов общего назначения, без учета специфики области применения;

б) разработка и исследование статистических моделей реальных явлений и процессов в соответствии с потребностями той или иной области деятельности;

в) применение статистических методов и моделей для статистического анализа конкретных данных.

Прикладная статистика — это наука о том, как обрабатывать данные произвольной природы. Математической основой прикладной статистики и статистических методов анализа является теория вероятностей и математическая статистика.

13. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Плотность относительных частот.

Полигон частот — один из способов графического представления плотности вероятности случайной величины. Представляет собой ломаную, соединяющую точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов.

Гистограмма - это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

14. Точечное и интервальное оценивание параметров генеральной совокупности.

15. Статистические гипотезы. Статистические критерии.

Статистической гипотезой называется утверждение о соответствии той или иной выборки некоторому классическому распределению или о совпадении основных числовых характеристик распределений.

При работе со статистическими гипотезами необходимо выдвинуть основную гипотезу, которую обычно обозначают H₀ и называют нулевой гипотезой, а также альтернативную гипотезу, являющуюся, как правило, логическим отрицанием нулевой гипотезы.

Ошибка первого рода – это такая ошибка, в результате которой отвергается правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Статистическим критерием проверки гипотезы называют случайную величину k, которая служит для проверки о гипотезе при заданном уровне значимости.

16. Виды зависимостей случайных величин.

Дата добавления: 2015-08-27