an = aaaa, a0 = 1, am an = am+n , am /an = am-n , (a b)m = am bm , (a/b)m = am /bm ,(am )n = am n

А Л Г Е Б Р А

Правило знаков: (+)·(+)=(+); (–)·(–)=(+); (+)·(–)=(–)

Действия со степенями

aⁿ = aaa...a, a⁰ = 1, a^m aⁿ = a^m+n, a^m /aⁿ = a^m-n, (a b)^m = a^m b^m, (a/b)^m = a^m /b^m,(a^m)ⁿ = a^{m n}

n

, , , = = - модуль числа.

Алгебраическая сумма

Если знаки чисел одинаковы: a+b = (общий знак) (|a|+|b|). Складываются модули и ставится общий знак

Если знаки разные, то из большего модуля вычитается меньший и ставится знак числа с большим модулем

Формулы сокращенного умножения

(a ± b)² = a² ± 2ab + b², a² – b² = (a-b)(a+b), (a ± b)³ = a³ ± 3a² b + 3ab² ± b³,

a³ ± b³ = (a±b)(a² ab +b²)

Коpни квадратного уравнения аx² + bx + c = 0

, дискриминант D = b² – 4ac

Теорема Виета Разложение на множители

x₁ + x₂ = - , x₁ x₂ = , аx² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Вершина параболы y = ax² + bx + c,

Арифметическая прогрессия

а_n = а₁ + (n-1)d - n-й член, сумма S_n =

Геометрическая прогрессия

a_n = a₁ q^n-1 – n-й член, сумма S_n= . При |q| < 1 беск. убыв. S_¥=

Cвойства логарифмов

= b – определение, log_a a = 1, log_a 1 = 0, log_c ab = log_c a + log_c b, log _c = log_c a – log_c b,

log_a bⁿ = n log_a b, = log_a b, log_a b = , log_a b =

Свойства тригонометрических функций (и обратных)

Четность: cos(-x) = cos x,

Hечетность: sin(-x) = - sin x, tg(-x) = - tg x, ctg(-x) = - ctgx, arcsin(-x) = - arcsin x, arctg(-x)= - arctg x,

Особые случаи:

arccos(-x)= П - arccos x, arcctg(-x)= П - arcctg x

Периодичносность:

sin(2Пk ± x) = sin(± x)= ±sin x, cos(2Пk ±x) = cos(±x)= cos x,

tg(Пк ± x)=tg(±x)= ± tg x, ctg(Пk ± x)=ctg(±x)= ± сtg x, где k Î Z - целое число

Некоторые значения тригонометрических функций

x рад.		π/6	π /4	π /3	π /2	π	3 π /2	2 π
x град.		30^°	45^°	60^°	90^°	180^°	270^°	360^°
sin x							-1
cos x						-1
tg x					¥		¥
ctg x	¥					¥		¥

Правило использования формул приведения

(рассуждение для острого угла 0<x<П/2)

f(П/2 ± x) или f(3П/2 ± x) =(знак исходной ф-ии) cf(x) - кофункция

f(П ± x) или f(2П ± x)= (знак исходной ф-ии) f(x)

Å Å _ Å _ Å

_ _ _ Å Å _

sin x cos x tg x= , ctg x =

Простейшие тригонометрические неравенства

Вид неравенства Множество решений неравенства (nÎ Z)

sin x > a sin x < a cos x > a cos x < a tg x > a tg x < a ctg x > a ctg x < a

|a| £ 1

(arcsin a + 2Пn; П - arcsin a + 2Пn) (- П - arcsin a + 2Пn; arcsin a + 2Пn) (- arccos a + 2Пn; arccos a + 2Пn) (arccos a + 2Пn; 2П – arccos a + 2Пn) (arctg a + Пn; П/2 + Пn) (-П/2 + Пn; arctg a + Пn) (Пn; arcctg a + Пn) (arcctg a + Пn; П + Пn)

Решение простейших тpигонометpических уравнений

sin x = a, |a|£1, x = (-1)^k arcsin a + Пk, k Î Z

cos x = a, |a|£1, x = ± arccos a + 2Пk, k Î Z

tg x = a, x = arctg a +Пk, k Î Z

ctg x = a, x = arcctg a + Пk, k Î Z

Частные случаи (k Î Z)

sin x = 0, x = Пk,, cos x = 0, x = П/2 +Пk

sin x = 1, x = П/2 + 2Пk, cos x = 1, x = 2Пk

sin x = -1, x = - П/2 + 2Пk, cos x = -1, x = П +2Пk

tg x = 0, x = Пk, ctg x = 0, x = П/2 + Пk

Основные тригонометрические тождества

sin² x + cos x² = 1Û cos x² = 1- sin² x Û sin² x = 1- cos x²

sin(x ±y) = sin x cos y ± cos x sin y

cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y

Удвоенный аргумент

sin 2x = 2sin x cos x

cos 2x = cos² x – sin² x = 1 - 2sin² x = - 1 + 2cos² x

sin² x = 1/2 (1 - cos 2x), cos² x = 1/2 (1 + cos 2x)

Утроенный аргумент

sin 3x = sin x (3 - 4sin² x)

cos 3x = cos x (4cos² x - 3)

Произведение тригонометрических функций

sin x cos y = 1/2 [sin(x+y) + sin(x-y)]

cos x cos y = 1/2 [cos(x+y) + cos(x-y)]

sin x sin y = 1/2 [cos(x-y) - cos(x+y)]

Сумма триг. ф-й

sin x + sin y = 2sin[(x + y)/2] cos [(x-y)/2]

sin x - sin y = 2cos[(x+y)/2] sin [(x-y)/2]

cos x + cos y = 2cos[(x+y)/2] cos [(x-y)/2]

cos x - cos y = - 2sin [(x+y)/2] sin[(x-y)/2]

Связи функций sin x, cos y c функциями tg x и ctg x

tg x = , ctg x = , tg x ctg x = 1

1 + tg² x = = sec² x, x ¹ П/2+Пk, 1 + ctg² x = = cosec² x, x ¹ Пk, k Î Z

tg(x ± y) = , x и y ¹ П/2 + Пk, k Î Z

tg 2x = , x ¹ П/2 + Пk, k Î Z, tg x/2 = =

tg x ± tg y =

Унивеpсальная тpигонометpическая подстановка

sin 2x = , cos 2x = , x ¹ П/2 + Пk, k Z

Основные правила дифференцирования.

Пусть u = u(x), v = v(x) - функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u¢×v+ u×v¢, в частности, (С× u)¢ = C u¢, где С – постоянная.

3) , если v ¹ 0

4) Производная сложной функции

[f(u(x))]¢ = f¢_u× u¢ _x

5) Производная показательно- степенной функции.

Производные основных элементарных функций.

0) (С)¢ = 0; С - постоянная 4)

1) (x^m)¢ = mx^m-1 5)

(x)′ =1; ; 6)

-частные случаи 7)

2) 8)

-частный случай 9)

3) 10)

-частный случай 11)

Неопределенный интеграл .

1. ,

2.

3.

Частные случаи.

4.

5.

Таблица интегралов

Интеграл	Интеграл
	=		= tgx + C
	=		=- ctgx + C
	=		=arcsin + C
	= e^x + C		=
	= –cosx + C	13	=
	= sinx + C	14	=
7	= – ln½cosx½+C	15	=
8	= ln½sinx½+ C	16	=

Дата добавления: 2015-08-27