1.2. Рівняння гідродинаміки , \ ^еЛи^

1.2. Рівняння гідродинаміки, \ ^еЛи^

Як відомо, одновимірний нестаціонарний рух ідеальної стислої баротропіної рідини описується системою рівнянь:

РУХУ

К ₊ (1.10)

дґ дг р дг

нерозривності

др др дУ V п и\

дґ дг дг г

стану у формі Тетд

Р~Ро=^аЇр/РоУ-*1 (1-12)

де V - швидкість руху рідини; р — щільність; р- тиск; г- координата; г- час;

А,п- постійні (для води А = 300 мгп, п = 7); к- розмірність простору (к = 0,1,2).

Вважаючи рух середовища потенційним, введемо в розгляд потенціал швидкостей

V = \ф = &асіф, (1.13)

де V - оператор градієнта (у одновимірному випадку V = —).

дг

Виходячи з відомого виразу

С-Я (1-14)

\(1р

і рівняння стану (1.12), отримаємо вираз для місцевої швидкості звуку

п-1

/ ------- ^

де С₀ - необурена швидкість звуку в рідині.

0 “ л

VРо

Використовуючи потенціал швидкостей, знайдемо

(1.17)

Система рівнянь гідродинаміки в класі потенційних течій еквівалентна нелінійному хвильовому рівнянню

А<р-\^- = -!_rf2V^ + V₍»V>W> (^1Л8)

^V С² ôt СЧ dt ^{Y Y}) ^v '

де A - оператор Лапласа.

В разі малості обурень

V / ~ Р~ Ро ~ Р~ Ро

Ао p₀Q Ро

нелінійне хвильове рівняння (1.18) переходить в лінійне, яке для одновимірного руху середовища має вид

(1.19)

По відомому потенціалу швидкості (р-(р(г,і) знайдемо функції швидкості і тиску

(1.20)

(1.21)

Функція тиску може бути уточнена за уявленням

В разі повільного руху середовища М = «1 хвильове рівняння

(1.18) переходить в рівняння Лапласа, яке описує рух нестискуваної рідини

д,,.і£₊£І!Е = 0 (1.23)

^Т дг² г дг

Таким чином, динаміку рідини описуватимемо або хвилевим рівнянням (1.19), або рівнянням Лапласа (1.23).

1.3. Математична постановка початково-краєвої задачі.

Вважаємо, що в результаті дії в рідині імпульсного енергетичного джерела (лазер, електровибух) виникає одновимірний рух ідеального стислого середовища. Це обурений рух описуватимемо лінійним хвильовим рівнянням

^£_Л^Р_!_^ ₌ о (\ 24)

дг² г дг С² ді²

де к = 0,1,2.

Вважаючи, що до моменту "включення" джерела рідина знаходилися в стані спокою, приймаємо нульові початкові умови:

/ = 0: <з(0,7-)= 0; М^ _{= 0}. (1.25)

дг

Дію джерела моделюємо рухом границі деякої порожнини (поршня, циліндра, сфери)

£и,(1-26)

де У_К - швидкість руху границі.

Рівняння (1.24) - (1.26) і складають математичну постановку початково-краєвої задачі.

В якості другої граничної умови використовуємо факт наявності лише втікаючих хвиль.

1.4. Методи рішення початково-крайових задач.

Зазвичай границі вважаються нерухомими або такими, що слабо (мало) деформуються. Іншими словами, граничні умови задаються на нерухомому положенні границь. Облік рухливості границь в крайових задачах для рівнянь з власними похідними значно ускладнює здобуття рішення задачі. Відзначимо, що в даний час теорія крайових задач з фіксованим положенням границь розроблена досить повно.

Зупинимося коротко на методах рішення крайових задач для рівнянь з власними похідними. Порядок (послідовність кроків) у рішенні крайових задач наступний. Знаходиться рішення рівняння з власними похідними. Потім це рішення задовольняється початковим і граничним умовам. Перерахуємо методи рішення крайових задач з нерухомими границями, постійної геометрії області.

1. Метод розділення змінних. Власне рішення рівняння шукається у виді добутку функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної. Рівняння з власними похідними з п незалежними змінними зводиться до п звичайним диференціальним рівнянням.

2. Метод інтегральних перетворень. Рівняння з власними похідними з п незалежними змінними зводиться до (л-1) незалежними змінними, отже, рівняння з двома незалежними змінними зводиться до звичайного диференціального рівняння. Найчастіше застосовуються інтегральні перетворення: Лапласа (операційне числення), перетворення Ханкеля (Ганкеля), перетворення Фур'є. Теорія інтегральних перетворень для хвильового рівняння викладена якнайповніше в монографії В.В. Дихти.

3. Метод перетворення координат. Вихідне рівняння з власними похідними зводиться до звичайного диференціального рівняння або до іншого, простішого рівняння з власними похідними за допомогою перетворення координат.

4. Метод функцій Гріна. Початкові і граничні умови замінюються при цьому системою простих джерел і задача рішається для кожного джерела окремо. Повне рішення крайової задачі знаходиться підсумовуванням рішень для елементарних джерел.

5. Метод конформного відображення. Метод застосовується для рішення крайових задач для рівняння Лапласа в плоскому випадку. Суть методу полягає у відображенні за допомогою аналітичних функцій

*

комплексного змінного. Функція для відображення підбирається так, щоб вихідна область складної геометрії перейшла в просту, наприклад, круг, кільце, смугу і так далі. При цьому рішення для такої області, як правило, вже відомо.

6. Метод розкладання по власних функціях. В цьому випадку рішення рівняння з власними похідними шукається у вигляді ряду (розкладання) по власних функціях. Самі власні функції знаходяться як рішення так званої задачі на власні значення, відповідно вихіднїй задачі для рівняння з власними похідними.

У основу всіх методів рішення лінійних крайових задач для рівняння з власними похідними (лінійного) і лінійних граничних умов, що задаються на фіксованому положенні границь, засновані на принципі суперпозиції, коли сума окремих рішень задачі є так само рішенням задачі.

7. Методи рішення задач з рухливими границями. Для завдань з рухливими границями принцип суперпозиції не працює. Взагалі задача з рухливими границями з’являються при розгляді зміни фазового стану тіл в теорії теплопровідності, при коливаннях тіл з великою амплітудою на поверхні рідини для рівняння Лапласа і при русі з великою швидкістю і амплітудою поверхні генераторів звуку в акустичному середовищі, при

коливаннях струн довжини, що змінюється в часі, для хвильового рівняння.

Що стосується методів рішення крайових задач для рівняння з власними похідними, то їх відомо дуже небагато. Найбільш загальний метод рішення крайових задач з рухливими границями приведений в роботах Л.Г. Грінберга. Цей метод заснований на розкладанні рішення по миттєвих власних функціях і вимагає рішення безкінечної системи лінійних диференціальних рівнянь. B.C. Крутіковим розроблений метод зворотних завдань з врахуванням взаємодії нелінійних аргументів. Проте, методи Грінберга і Крутікова пов'язані з представленням рішення у вигляді рядів, що не дає результату фізичної наочності. Від цього недоліку вільний метод нелінійного перетворення часу, який послідовно розвивається в роботах В. А. Поздєєва. Метод нелінійного перетворення детально розглянутий в другому розділі посібника стосовно рішення крайової задачі з рухливим плоским кордоном для хвильового рівняння.

Наближені рішення нелінійних крайових задач для рівнянь з власними похідними можна отримувати методом обурень (методом малого параметра). У цьому методі виходить рекурентна система рівнянь. Відзначимо, що в особливо складних випадках для вирішення крайових задач для рівняння з власними похідними використовуються чисельні методи, що реалізовуються за допомогою комп'ютера. Результати, отримані чисельними методами, важкі для фізичної інтерпретації.

Розділ 2.

КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ГЕНЕРАЦІЇ ХВИЛЬ РУХЛИВИМ ПЛОСКИМ ПОРШНЕМ

2.1. Метод нелінійного перетворення часу.

Розглянемо генерування хвиль тиску нестаціонарно рухомим в стискуваній рідині (акустичному середовищу) плоским поршнем. Конструктивно це може бути досягнуто рухом поршня в трубі. Вважаємо, що швидкість руху поршня досить мала в порівнянні з швидкістю звуку в середовищі, тдк що квадратом цього відношення в порівнянні з одиницею можна нехтувати. Проте, вважаємо, що переміщення поршня значительні настільки, що граничну умову необхідно задавати на поточному положенні обурюючої границі. З врахуванням сказаного математичну постановку задачі запишемо у виді

(2 1)

дх² С² ді²

%- = УМ(* = нМ (²-²)

ах

де (р - потенціал швидкостей обуреного руху середовища, х- координата,

і - час,

С₀ - швидкість звуку в середовищі,

У_к - швидкість руху поршня;

сІН

Н_к - закон руху поршня, але в загальному випадку —— * У_к (/). Початкові умови вважаємо нульовими, тобто вважаємо

г = 0: _у(0,х)=^'^х)=0. (2.3)

При відомому потенціалі швидкостей (р = (р{х,і) швидкість середовища і тиск в середовищі визначаються виразами

Рис. 2.1.

де р₀ - щільність середовища.

Рішення поставленої задачі (2.1) - (2.5) шукатимемо методом нелінійного перетворення часу. Відповідно до цього методу рішення хвильового рівняння (2.1) запишемо у виді

$?(*,/)= (2.6)

(2.7)

де /° - хвильовий аргумент (/° > о),

^ - невідома (шукана) функція хвильового аргументу, визначувана з граничної умови (2.2).

Підставляючи рішення (2.6) в граничні умови (2.2), отримуємо співвідношення виду

НЛ‘У

= -СсУМ (2.8)

Для рішення рівняння (3.30) скористаємося перетворенням часу

НМ)

/----- — = т,

С₀

виходячи з якого отримуємо зворотну функцію

ї = и'(г), (2.10)

де т — «новий» час.

Відмітимо, що перетворення виду (2.9), (2.10) лежить в основі методу нелінійного перетворення часу, як методу рішення хвильових задач з рухливими границями. За умови, що функція Н_к(і) є однозначною і

стверджувати, що (2.10) однозначне.

З врахуванням перетворення (2.9), (2.10) рівняння (2.8) набирає виду

^і) = -С_ЛМг)). (2.11)

ат

Інтегруючи рівняння (2.11) по г, отримуємо

<р(^)=-Со)у_я(^т. (2.12)

о

Враховуючи, що рішення хвильового рівняння має бути функцією хвильового аргументу в (2.12) приймаємо г = /°. Тоді отримуємо рішення крайової задачі у виді

/°

<р(х,і) = -С₀ |к„ [м{т))сіт. (2.13)

Швидкість середовища і тиску в середовищі знаходимо у виді

У(х,₁) = уМ‘°і Р(х,і) =-р<,С₀У_в(»{‘⁰))- (2-14)

Зупинимося на визначенні зворотної функції із співвідношення (2.9). У ряді випадків задача закону Я_Л(/) зворотне перетворення (2.10) можна отримати з рішення рівняння алгебри (2.9). Наприклад, нехай Я_Л(г) = К₀/. Тоді

/ = Г І І = и{г) =

С₀ 1 -М₀

де ^Мо=~- '-'0

Якщо функція Н_р(і) представлена у виді стеленого ряду, то рішення

рівняння (2.10) проводиться відповідно до формул звернення степених рядів. Так, якщо

і(т) = Ь_Іт + Ь₂т² +Ь,т³ +..Ь_кт^к +.... (2.16)

При цьому перетворенні коефіцієнти ряду (2.16) визначаються по формулі

1 іі

>,к = 1,2,3,...

к\с1і^к-' [г(()

		(г)=г +
			(2.18)

Аналогічним чином знаходяться подальші наближення. В більшості випадків практики можна обмежитися першим наближенням.

Выполненные теоретические исследования начально-краевой волновой задачи с подвижной границей определения поля давления, вызванного движением плоского поршня позволяют выделить два характерных случая. Во- первых, это движение поршня с постоянной скоростью, во-вторых, движение поршня по более общему закону. Второй случай является наиболее сложным.

На Рис.. представлены результаты расчетов в излученной волне давления поршня движущимся при равноускоренном движении

Рис., Зависимость давления в излученной волне от времени при равноускоренном движении границы:

1 - неподвижная граница;

2 - подвижная граница.

2.2. Порушення принципу суперпозиції рішеня задачі з рухливими границями.

Для наочності порушення принципу суперпозиції розглянемо приклад для руху поршня згідно із законом

н_к(‘)=Уо‘+Чг

К_д(/)— V_Q + a₀t.

В цьому випадку рішення рівняння (2.19)

		1_ 2 ^2а0т
			(2.21)
		С„(1-MJ

Де М₀ = -і-.

Використовуючи вираз виду (2.21) по формулі (2.13) знайдемо рішення крайової задачі з рухливими границями, рухомим згідно із законом (2.20)

С„(1-М₀)²

де V=V/C₀; Р = —у.

^рРо 0

Приймаючи в (2.22) послідовно V₀ = 0 і я₀ = 0, отримуємо наступні рішення задачі для руху поршня з постійною швидкістю

P(x,t)=M₀при а₀ = 0

і для рівноприскореного руху?(*,/) =!-

Со(і-Мо)

де сг(і") '- одинична функція Хевісайда.

Відповідно до принципу суперпозиції рішення задачі при русі поршня згідно з (2.20) законом виходить шляхом підсумовування рішень Ц і Р₂

		2а0І°
			•4°).
					(2.23)
		С„(1-М0)^2_

Як видно з порівняння точного рішення задачі (2.22) і рішення отриманого суперпозицією (2.23), вони не збігаються.

Рішення лінійної задачі (при завданні граничної умови на положенні границі х = 0) має вид

	р м=
		(2.24)
		С,
		V

Рішення лінійної задачі не збігається з (2.22) і (2.24).

2.3. Зворотня задача визначення закону руху поршня за відомим профілем хвилі тиску, що випромінює

Вище було вирішено пряму задачу визначення форми хвилі тиску, що випромінює рухливим поршнем. Тепер поставимо зворотню задачу визначення закону руху непроникної границі за відомим (заданому) профілем хвилі тиску, що випромінюєся ним.

Вважаємо, що динаміка середовища описується лінійним хвильовим рівнянням, а тиск в середовищі визначається лінійним інтегралом Коши- Лагранжа. Початкові умови вважаємо нульовими. Кінематична гранична

умова на рухливій границі контакту поршня з середовищем має вид

(2.25)

де Я_й(/)-закон руху поршня,

К_л(/)- швидкість руху поршня,

V - масова швидкість руху середовища в хвильовому полі,

* - лінійна координата,

/ - час.

Відзначимо, що через непроникність границі в даному випадку справедливе співвідношення =

Тоді, згідно виразу (2.15) поле тиску визначається виразом

(2.26)

де р₀,С₀- щільність і швидкість звуку необуреного середовища,

/° - хвильовий аргумент /° = / - х/С₀.

Відповідно до методу нелінійного перетворення часу залежність \¥(Ч) є рішенням рівняння

(2.27)

Представленими вище виразами (2.25) - (2.27) описується рішення прямої задачі за визначенням профілю хвилі тиску, що випромінює. Для формального рішення задачі з (2.26) знайдемо

^М'°))=^- (2-28)

Л)^С0

Останнє співвідношення з врахуванням перетворення часу (2.27) запишемо у виді функції в явній залежності від часу

гЛО—тН^-ЛцСО/С,); (2.29)

Ро^о

#*(')=

о

Вирази (2.29) і є рішенням зворотної задачі в загальному вигляді. Для порівняння приведемо рішення зворотної задачі з нескінченно малою амплітудою переміщення поршня

К,(г)=-^; (2.30)

Ро'-'о о

Рішення зворотної задачі в явному вигляді при обліку рухливості границі можливо лише для деяких виразів для хвилі тиску. Йдеться про точне аналітичне рішення. Наприклад, розглянемо найбільш поширену вираз для хвиль тиску у вигляді експоненти

Р{і)= Р„ ■ є'", де Р₀ - амплітуда хвилі, а - постійна.

Для даного профілю хвилі відповідно до (2.30) отримуємо вираз для швидкості поршня

= (2-31)

Ро^о

іІН

Враховуючи, що У_к-—розділяючи змінні Н_к і і потім

інтегруючи, знаходимо вираз для закону руху поршня в явному виді

Со а

Р_п

Де Р_л =

При виконанні умови (са)² «1 рішення (2.32) можна спростити. Отримуємо

Я»(')=ПСо^1-у(і-?„))■ (2.33)

• /ч ^НЛ‘)

В разі довільної, але гладкої функції Р(і) при і» —-— справедливе

С»

розкладання

С₀ СІЇ

з врахуванням якого рівняння (2.29) можна перетворити до виду

Вирішуючи отримане рівняння (2.34) відносно величини Н _р отримуємо наступний вираз для закону руху границі

Д*(/) = е~^р |А + С₀ \р{тУ^{т](іт|, (2.35)

Р.......

де р =-------, а постійна інтеграції дорівнює нулю, що виходить з умови

Ро^Со

н_к{0)=0.

Враховуючи, що р² «1, рішення (2.35) запишемо у виді

Нк(і) = ^со |ір(т№ +)р²(^т)^^т - р(т)\р{т)гіті (2.36)

[о о о)

У окремому випадку завдання профілю хвилі, що випромінює, у вигляді експоненти /^>(/)= Р₀ •ез виразу (2.36) знайдемо закон руху Н_и(і).

to

»

* p ' і

, -V * V

/ / 7 ' ⁷ ' 7 7 7 ' 777 77 r 7 7 7 / /

КЫ Eti)

/X/ /V / / // /X

		/ / / /

4

\

Vfr / 7 7 / T~7~7 7~T-7—7~~TT~?

Дата добавления: 2015-08-27