1. Метод конечных разностей.

1. Метод конечных разностей.

Численные методы являются мощным и гибким средством решения задач нестационарной теплопроводности. Их можно успешно применить для решения задач, которые трудно решить другими методами. При использовании численного метода конечных разностей (МКР) для нестационарных задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов.

Для каждого узла используя уравнение теплопроводности и представление частных производных конечными разностями, записывают баланс энергии, получая в итоге алгебраическое уравнение для температуры в каждом узле.

Отдельные уравнения записывают для каждого узла, расположенного на границе твердого тела. При этом используют граничные условия. В результате применения метода конечных разностей, получают n узлов в твердом тел, которые решают стандартными математическими методами с помощью ЭВМ.

2. Численные методы решения задач теплообмена.

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности:

(1)

i

Для решения будем использовать численный метод. С этой целью исследуемую область разбиваем на N отрезков или полос.

N

i+1

i-1

X2

X1

x_i-1, x_i, x_i+1.

Вводим шаг

записываем в виде разности.

;

;

(2)

– коэффициент теплопроводности на отрезке ;

- коэффициент теплопроводности на отрезке .

Если и , то (2) перепишется в виде:

(3)

Левую часть (1) в разностном виде записывают как

(4)

где , - последующий и предыдущий момент времени.

При получаем:

– значение температуры в момент времени .

Подставляя (3), (4) в (1) получим разностную схему для уравнения теплопроводности:

(5)

где - неизвестная функция.

(6)

(i=2,…,N-1)

где - известные функции, которые берутся с нижнего временного слоя.

Разностная схема (6) называется явной если указаны граничные условия первого рода:

T при x=0 равно T₀, T при x=δ равно Т_н, то в разностном виде записывают, как:

(7)

Т

xi

Xn-1

Тн

X2

Численный расчет является устойчивым, если погрешность, полученная на n – ом шаге, на следующем шаге не возрастает.

;

;

, где

Используем данное определение в нашем случае:

- условие устойчивости из данного неравенства.

- условие устойчивости явной разностной схемы.

-коэффициент температуропроводности, м²/с, характеризует количество тепла, которое переносится за 1 с.

3. Пример использования МКР.

Программа расчета на ЭВМ.

program Example;

const

a=1.35e-5;b=0.4;T0=20;Tc1=20;Tc2=100;

time=0.2;n=120;Delta=0.006;

var

T: array [1..n] of Real; {массив температур на i+1 лое по времени}

Told: array [1..n] of Real; {массив температур на i слое по времени}

X: array [1..n] of Real; {массив узлов}

Tau,H:Real; {шаг по времени}

i,j:integer;

DataFile:Text;

Begin

{определение местоположения узлов Xi и задание начальных условий}

H:=Delta/(N-1);

for i:= 1 to N do

begin

X[i]:=H*(i-1);

T[i]:=T0;

Told[i]:=T0;

end;

{определение шага по времени}

Tau:=B*H*H/A;

j:=0;

{задание граничных условий}

T[1]:=Tc1;

T[N]:=Tc2;

{основной цикл}

repeat

j:=j+1;

for i:=2 to N-1 do

T[i]:=Told[i]+B*(Told[i+1]-2*Told[i]+Told[i-1]);

{переписывание Т в Told}

for i:= 1 to N do

Told[i]:=T[i];

{условие прекращения счета t > Time}

until j*Tau >= Time;

{печать данных на экран дисплея и их вывод в файл Res.Dat}

Assign (DataFile,'Res.Dat');

Rewrite(DataFile);

for i:= 1 to N do

begin

writeln (DataFile,X[i]:10:5, T[i]:10:5);

writeln (X[i]:10:5, T[i]:10:5);

end;

writeln ('Time=', j*Tau,',Tmiddl=',T[Trunc(N/2)]:5:5);

Close(DataFile);

end.

Результаты:

0.00000 20.00000

0.00005 20.09884

0.00010 20.19794

0.00590 97.23118

0.00595 98.61526

0.00600 100.00000

Time=0.200061200950969,Tmiddl=35.43007

Рисунок 1.

Вариант 14

Натрубные отложения в топке (а=9,78Е-7 м2/с и l=44Вт/(М*к)) при толщине d=0,005 м имеет распределение температур . Как изменится температура на внутренней стороне отложения (x=d, если температура газов на внешней стороне (х=0, стала равной 900 С. Построить поле температур через 5 секунд.

Программа на языке Паскаль:

program Example;

const a=9.78e-7; Tc1=900; b=0.4; Tc2=400; a2=70; a1=400; Lam=1.8;

time=5; n=120; Delta=0.005;

var

T: array [1..n] of real;

Told: array [1..n] of real;

X: array [1..n] of real;

Tau,H,Bi1,Bi2:real;

i,j:integer;

DataFile:Text;

Begin

H:=Delta/(N-1);

Bi1:=a1*H/lam;

Bi2:=a2*H/lam;

for i:=1 to N do

begin

X[i]:=H*(i-1);

T[i]:=777.56-4986.64*x[i];

Told[i]:=777.56-4986.64*x[i];

end;

Tau:=B*H*H/a;

j:=0;

repeat

j:=j+1;

for i:=2 to N-1 do T[i]:=Told[i]+B*(Told[i+1]-2*Told[i]+Told[i-1]);

T[1]:=(T[2] + Bi1*Tc1)/(1+Bi1);

T[N]:=(T[N-1] + Bi2*Tc2)/(1+Bi2);

for i:=1 to N do

Told[i]:=T[i];

until j*Tau>=Time;

Assign(DataFile,'Res.dat');

Rewrite(DataFile);

for i:=1 to N do

begin

writeln(DataFile,X[i]:10:5,T[i]:10:5);

writeln(X[i]:10:5,T[i]:10:5);

end;

writeln('Time=',j*Tau,'Tmiddl=',T[N]:5:5);

close(DataFile);

end.

Окно вывода:

0.00000 813.79002

0.00004 812.98507

0.00008 812.18327

0.00013 811.38464

0.00017 810.58922

0.00021 809.79702

0.00025 809.00806

…………………………………………

0.00483 739.45716

0.00487 738.90456

0.00492 738.35247

0.00496 737.80090

0.00500 737.24984

Time=5.00019567552752Tmiddl=737.24984

Рисунок 2.

Дата добавления: 2015-08-27