Построение математической модели процесса гальванического получения хромоникелевых покрытий.

Лабораторная работа №1

Построение математической модели процесса гальванического получения хромоникелевых покрытий.

Цель работы. Ознакомление с методом планирования эксперимента и построения математической модели гальванического процесса.

Введение. Для получения плотных хромоникелевых покрытий с минимальными внутренними напряжениями применяется электрохимическое выделение из сернокислых растворов. Внутренние напряжения могут быть измерены по деформации металла. Представляет интерес изучение влияния параметров электрохимического процесса на качество гальванического покрытия.

Содержание работы. Важнейшим условием научно поставленного эксперимента является минимизация общего количества опытов, а следовательно, и затрат материальных, трудовых и временных ресурсов, что конечно не должно существенно отражаться на качестве полученной информации.

При создании математической модели процесса с использованием метода планирования эксперимента следует выделить следующие основные этапы:

1. Выбор входных и выходных данных.

Входные переменные Х_i, i = , которые определяют состояние объекта, называются влияющими факторами. Основное требование к ним – достаточная управляемость, т.е. возможность установить нужный уровень фактора и стабилизировать его в течение опыта. Выходная переменная Y (функция отклика) – реакция объекта на входные воздействия. Выбор определяется целью исследования, которая может представлять оптимизацию экономической, технологической или иной другой характеристики объекта.

1. Выбор области экспериментирования.

Подразумевается выбор области факторного пространства, изучение которой представляет интерес для исследования. Границы области по каждому фактору Х_i обусловлены его минимальными и максимальными значениями, т.е. Х_{i min} < Х_i < Х_{i max}. При выборе ограничений исследователь руководствуется конкретными обстоятельствами, например: временем протекания процесса, стоимостью материала и др.

1. Выбор математической модели объекта.

В случае, если аналитическая зависимость, связывающую функцию отклика с влияющими факторами, найти невозможно и вид функции Y = (Х_1, Х_2,…. Х_k) априори неизвестен, то целесообразно использовать степенной ряд:

Y = a₀ …., (I)

где k - число влияющих факторов.

Выражение (I) служит математической моделью исследуемого объекта. Для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома применяется наиболее универсальный метод наименьших квадратов. При его использовании необходимым условием получения статистических оценок является выполнение неравенства N>s, т.е. количество опытов N должно быть больше чем число коэффициентов полинома s.

Для удобства обработки и интерпретации результатов эксперимента целесообразно все факторы представить в безразмерной форме, для чего проводят операцию кодирования переменных:

=0,5 (Х_{i min} + Х_{i max}.); I = 0,5 (Х_{i min} - Х_{i max}.); x_{i min} = 1,0; x_{i max} = +1,0

Для количественных факторов связь между физическими Х_i и кодированными x_i значениями факторов определяется соотношением x_i = (Х_i - ) / I_i.

Описанные преобразования являются линейными, поэтому в аппроксимирующей функции (I) изменяются только коэффициенты при факторах, т.е.:

Y = b₀ …., (II)

При практической аппроксимации обычно ограничиваются учетом линейного и квадратичного влияния факторов, а также эффектов их парного взаимодействия.

1. Составление плана эксперимента.

Таблица, составленная из значений факторов для каждого опыта, как независимых (i = ), так и зависимых (i = ), называется матрицей планирования. Та ее часть, которая включает в себя значения независимых переменных, является планом эксперимента.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если k факторов варьируется на двух уровнях, то число всех возможных сочетаний факторов равно 2 ^k и полный факторный эксперимент называется ПФЭ типа 2 ^k.

В общем случае ПФЭ типа 2 ^k обладает следующими свойствами:

· симметричностью относительно центра эксперимента (алгебраическая сумма элементов вектора столбца для каждого фактора равна 0: , i = ., где x_iu – значение i -го фактора в u –том опыте);

· сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов (условие нормировки): i = ;

· условиям ортогональности (сумма почленных произведений любых двух векторов-столбцов матрицы равна 0): , I<j; i, j= . Ортогональность матриц позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициентов при обработке данных с помощью метода наименьших квадратов.

Коэффициенты полинома составляют: b_i= x_iu ; b_ij= x_iu x_ju.

1. Обработка результатов эксперимента.

Включает следующие этапы:

v на основании данных параллельных наблюдений оценивается дисперсия воспроизводимости D_yi для каждой строки плана и определятся критерий равноточности (критерий Кохрена) G, осуществляется проверка однородности дисперсий и рассчитывается погрешность опыта ;

v с помощью метода наименьших квадратов определяются коэффициенты аппроксимирующего полинома;

v производится проверка адекватности модели исходя из критерия Фишера F;

v проверяется значимость коэффициентов полинома, исключаются незначимые, осуществляется повторная проверка адекватности модели.

1. Анализ результатов эксперимента.

Заключается в интерпретации модели в терминах объекта и определении оптимальных условий функционирования.

Пример.

Предварительные исследования показали, что наибольший интерес представляют 3 фактора: плотность тока Х₁, температура раствора Х₂ и концентрация хрома Х₃. Уровни факторов и их интервалы варьирования выбраны на основе априорных сведений об объекте (табл. 1).

Таблица №1
Параметр	Фактор
	Плотность тока, А/м^2	Тем-ра, ^0С	Кон-ция, кг/м^3
	Х1	Х2	Х3
Основной уровень, Хi			0,7
Интервал варьирования, Ii			0,3
Верхний уровень, Хi max
Нижний уровень Хi min			0,4

Решение.

Анализ имеющихся сведений об объекте свидетельствует, о том, что наибольший интерес представляют линейные эффекты и парные взаимодействия. Поэтому модель объекта имеет вид:

Y=b + b₁ x₁+ b₂x₂+ b₃ x₃ + b₁₂ x₁x₂ + b₁₃ x₁x₃ + b₂₃ x₂x₃ (1)

Наиболее простой план, допускающий оценку всех коэффициентов такой модели (s=7), - ПФЭ типа 2³ с N=8 (табл. 2).

Таблица № 2
№ оп.	Опыты	Фактор	Отклик	Оценка
		Х0	Х1	Х2	Х3	Y1	Y2	Yср.	Dy
	8,13	+1	-1	-1	-1	3,40	4,10	3,750	0,245
	11,15	+1	+1	-1	-1	-0,40	-0,60	-0,500	0,020
	6,14	+1	-1	+1	-1	2,70	1,80	2,250	0,405
	3,12	+1	+1	+1	-1	2,35	3,15	2,750	0,320
	2,4	+1	-1	-1	+1	2,20	3,30	2,750	0,605
	1,9	+1	+1	-1	+1	-0,84	-1,16	-1,000	0,051
	5,7	+1	-1	+1	+1	0,60	0,90	0,750	0,045
	10,16	+1	+1	+1	+1	0,60	0,40	0,500	0,020
									1,711
Yср.							1,406

В таблице № 2 приведены результаты опытов (при m=2), расчетные средние значения и дисперсия отклика в каждой точке опыта. Последовательность проведения опытов (от 1-го до 16-го) удовлетворяет требованию рандомизации, т.е. организации случайной последовательности опытов, позволяющей минимизировать влияние помех.

По данным табл. 2 определим критерий Кохрена:

/ (2)

G =0,605/1,711=0,35

Табличное значение G_Т при m-1=1 и N=8 равно 0,680 (см. табл. I. Приложение). Так как G< G_Т , гипотеза равноточноcти не отвергается. При этом дисперсия опыта равна:

= (3)

=1,711/(2*8)=0,107

Для определения коэффициентов регрессии воспользуемся выражениями:

b_i= x_iu (4 а)

b₀ = 1/8(3,75-0,50+2,25+2,75+2,75-1,0+0,75+0,5)=1,406

b_ij= x_iu x_ju (4 б)

Тогда:

b0	b1	b2	b3	b12	b13	b23
1,406	-0,968	0,156	-0,656	1,031	-0,031	-0,281

Подставив найденные значения коэффициентов регрессии в аппроксимирующий полином, получим:

Y=1,406 – 0,968 x₁+ 0,156 x₂ – 0,656 x₃ + 1,031 x₁x₂ – 0,031 x₁x₃ – 0,281 x₂x₃ (5)

Воспользовавшись приведенной зависимостью (5), составим табл. 3 и по ее данным вычислим дисперсию адекватности:

Таблица №3
№ оп.	Yср	Yр	Yр-Yср	(Yр-Yср)^2
	3,75	3,594	-0,156	0,024
	-0,50	-0,344	0,156	0,024
	2,25	2,406	0,156	0,024
	2,75	2,594	-0,156	0,024
	2,75	2,906	0,156	0,024
	-1,00	-1,156	-0,156	0,024
	0,75	0,594	-0,156	0,024
	0,50	0,656	0,156	0,024
			0,195

= (6)

=0,195/(8-7)=0,195

Для проверки гипотезы адекватности найдем значение критерия Фишера:

F = / (7)

F= 0,195/0,107=1,82

При числе степеней свободы N-s=8-7=1 и N*(m-1)=8*(2-1)=8 согласно табл. II Приложения.

Имеем F< F_Т= 1,82<5,32

Следовательно, гипотеза об адекватности выбранной модели не отвергается.

Найдем значимые коэффициенты регрессии.

Дисперсии коэффициентов равны:

= /N (8)

= 0,107/8=0,0134

Среднее квадратичное отклонение равно:

= (9)

= =0,115

Расчетное значение критерия Стьюдента для коэффициентов:

t_l = (10)

t₀ = 1,406/0,115=12,13

t0	t1	t2	t3	t12	t13	t23
12,23	8,43	1,36	5,72	8,98	0,27	2,44

Табличное значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы n =N (m-1)=8*(2-1) = 8 (см. табл. Приложение) составляет t_Т = 2,31.

Сравнение расчетных значений t -критерия с табличным позволяет сделать заключение о незначимости коэффициентов b₂ и b₁₃.

Тогда аппроксимирующий полином примет вид:

Y=1,406 – 0,968 x₁ – 0,656 x₃ + 1,031 x₁x₂ – 0,281 x₂x₃ (11)

По данным таблицы № 4 вычислим дисперсию адекватности для данного случая:

=0,398(8-5)=0,133

Таблица №4
№ оп.	Yср	Yр	Yр-Yср	(Yр-Yср)^2
	3,75	3,781	0,031	0,001
	-0,50	-0,219	0,281	0,079
	2,25	2,281	0,031	0,001
	2,75	2,406	-0,344	0,118
	2,75	3,031	0,281	0,079
	-1,00	-0,969	0,031	0,001
	0,75	0,406	-0,344	0,118
	0,50	0,531	0,031	0,001
			0,398

Для проверки гипотезы адекватности данной модели найдем значение критерия Фишера:

F= 0,133/0,107=1,24

При числе степеней свободы N-s=8-5=3 и N*(m-1)=8*(2-1)=8 (табл. II, Приложение) имеем F< F_Т= 1,82<4,07

Следовательно, гипотеза об адекватности модели и в данном случае не отвергается.

Описанная модель процесса позволяет определить оптимальные условия его протекания. На основании априорных сведений известно, что наиболее качественные показатели процесса получались при х₁ = 0,2¸1,0; х₂ = 0,33¸1,0; х₃ = 0,33¸1,2.

Исходя из требований практики достаточно исследовать уравнения для температур 50, 55, 60 ⁰С, т.е. при х₂ = 0,33; 0,66 и 1,0.

Поочередно подставив указанные значения х₂ в уравнение регрессии и положив Y=0, что соответствует оптимальному протеканию процесса имеем:

х₂ = 0,33; 0,625 х₁ + 0,749 х₃ = 1,406 (12)

х₂ = 0,66; 0,286 х₁ + 0,841 х₃ = 1,406 (13)

х₂ = 1,0 0,063 х₁ - 0,937 х₃ = -1,406 (14)

Из уравнений (13) и (14) следует, что даже при х₁ = ± 1 имеем х₃ > 1,2, т.е. фактор х₃ выходит за заданный интервал. Поэтому для определения оптимальных условий работы можно воспользоваться только уравнением (12).

Приняв х₁ = 1, получим х₃ = (1,406-0,625)/0,749 = 1,04.

Найдем натуральные значения факторов:

Х_i = x_i * I_i + Х_ср (14)

Выводы. Оптимальные параметры процесса следующие (в табл.):

Плотность тока, А/м^2	Температура, ^0С	Концетрация, кг/м^3
X1	X2	X3
		1,01

Варианты.

№ вар.	Значения y1
	3,40	-0,40	2,70	2,35	2,20	-0,84	0,60	0,60
	3,35	-0,50	2,50	2,10	2,25	-0,60	0,45	0,55
	3,10	-0,50	2,60	2,00	2,21	-0,75	0,50	0,55

Требования к оформлению работы.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Название работы;

2. Цель работы

3. Краткие теоретические положения, на которых базируется выполнение данной работы

4. Данные расчетов c использование Microsoft Excel, представленные в виде таблиц.

5. Выводы.

Литература.

1. К.П. Власов. Методы научных исследований и организации эксперимента. СПб., СПГГИ. 2000 г., 116 с.

2. А.Г. Протосеня, Т.Н. Горшунова. Выбор оптимального варианта технологий металлургического процесса. Ленинград, ЛГИ, 1985, с.68.

3. А.Ю. Закгейм Введение в моделирование химико-технологических процессов. М., Химия. 1982. 287 с.

4. В.В. Кафаров, В.Л. Перов. Принципы математического моделирования химико-технологических систем. М., Химия. 1974. 344 с.

5. Т.Н. Грейвер. Основы методов постановки и решения технологических задач цветной металлургии. М., ГУП ИД «Руда и металлы». 1999. 147 с.

Приложение.

Таблица № 1

Определение критерия Фишера (F)

N(m-1)	N-s
	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.84	8.74	8.64	8.53
	7,1	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1,00

Таблица № 2

Определение критерия Кохрена (G)

N	m-1
	0,999	0,975	0,939	0,906	0,853	0,816	0,734	0,660	0,500
	0,967	0,871	0,798	0,746	0,677	0,633	0,547	0,475	0,333
	0,907	0,768	0,684	0,629	0,560	0,518	0,437	0,372	0,250
	0,781	0,666	0,532	0,480	0,418	0,382	0,314	0,261	0,167
	0,680	0,516	0,438	0,391	0,336	0,304	0,246	0,202	0,125
	0,602	0,445	0,373	0,331	0,282	0,254	0,303	0,166	0,100
	0,471	0,334	0,276	0,242	0,203	0,182	0,143	0,114	0,067
	0,389	0,271	0,221	0,192	0,160	0,142	0,111	0,088	0,050
	0,293	0,198	0,159	0,138	0,114	0,100	0,077	0,060	0,033
	0,100	0,063	0,049	0,042	0,034	0,029	0,022	0,017	0,008

Таблица № 3

Определение критерия Стьюдента (t).

n	t	n	t	n	t
	12,71		2,45		2,09
	4,30		2,31		2,04
	3,18		2,23		1,98
	2,78		2,13		1,96

Дата добавления: 2015-08-27