Элементы математической статистики

Математическая статистика занимается разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью получения закономерностей случайных массовых явлений.

Задачи математической статистики: Первая задача – указать способы сбора и группировки статистических данных. Вторая задача – разработать методы анализа и обработки полученных статистических данных в зависимости от целей исследований.

Опр. Совок-сть N объектов, из которых производится выборка объектов для исследования, называется генеральной совокупностью.

Опр. Сов-ть п объектов, случайно отобранных из генеральной сов-ти, наз-ся выборочной совокупностью или выборкой ().

Опр. Выборка наз-ся бесповторной, если отобранный для ис-я случайным образом объект в ген-ую совокупность не возвращается.

Опр. Выборка наз-ся повторной, если отобран. случ. образом объект перед отбором след-го объекта возвращается в ген-ую сов-ть.

Для того, чтобы выборка давала правильное представление о генеральной совокупности, она должна быть представительной или репрезентативной, т.е. для каждого объекта генеральной совокупности вероятность попасть в выборку одна и та же.

Пусть совокупность объектов исследуется по некоторому признаку Х. Произведем выборку объема п. Пусть в результате эксперимента случайная величина Х приняла значения раз, раз, …, раз, причем

Опр. Наблюдаемые значения называется вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. Опр. Числа называется частотами, числа наз-ся относительными частотами,

Опр. Статистическим распределением выборки наз-ся задание вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Опр. Таблица

			…
			…

или

			…
			…

называется статистическим рядом. Пусть изучается генеральная совокупность относительно некоторого признака Х. – возможные значения этого признака, причем все различные.

Опр. Генеральной средней называется среднее арифметическое возможного значения

Если же не все значения различны, а различные значения признака Х принимаются раз, раз, …, раз, тогда . Пред-им, что все объекты генер-ой сов-ти объема имеют различные значения. Если взять один объект, то вероятность, что он обладает признаком, равна . Тогда . Итак, генеральная средняя есть математическое ожидание рассматриваемого признака Х.

Пусть требуется изучить генеральную совокупность объема относительно признака Х. Извлечем выборку объема п.

Опр. Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности . Если не все значения признака различны, то .

Если из генеральной сов-ти извлечена выборка, то она имеет выборочную среднюю, которая является определенным числом. Другая выборка, извлеченная из генеральной совокупности, будет иметь свою выборочную среднюю, которую можно рассматривать как случайную величину, а следовательно, можно говорить о распределении выборочной средней и о ее числовых характеристиках.

Зам. В теоретических рассуждениях выборочные значения признака Х рассматриваются как случайные величины, имеющие то же распределение и те же числовые характеристики, что и признак Х.

Рассмотрим генеральную совокупность объема . Пусть - значения количественного признака Х – различны.

Опр. Генеральной дисперсией наз-ся среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака ген-ой сов-ти от ген-ой средней . . Если же не все значения признака различны, т.е. раз, раз, …, раз, то . Средним квадратическим отклонением генеральной сов-ти наз-ся

Пусть требуется изучить генеральную совокупность объема относительно признака Х. Извлечем выборку объема п.

Опр. Выборочной дисперсией наз-ся среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака выборочной сов-ти от выборочной средней . . Если же не все значения признака различны, то . Средним квадратическим отклонением выборочной совокупности называется

Пусть известно статистическое распределение некоторого признака Х. х – некоторое действительное число. Обозначим - сумму частот, варианты которых меньше х. Тогда – относительная частота события

Опр. Статистической (эмпирической) фун-ей распределения наз-ся функция . Статистическая ф-я сходственна с интегральной ф-ей распределения , которую в матем. статистике наз-ют теоретической фун-ей распред-я.

Различие между этими ф-ми состоит в том, что задает вероятность события , задает относительную частоту этого события Фун-я обладает всеми св-ми ф-и : 1) .2) – неубывающая ф-я.3) Если то =0, если то =1. В целях наглядности строят графики статистического распред-я выборки.

Опр. Полигоном частот называется ломаная линия с вершинами в точках . Полигоном относительных частот называется ломаная линия с вершинами в точках .

Опр. Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниям которых служат отрезки длины , лежащие на оси Ох, а высотами –отрезки длиной . Значения длин выбираются следующим образом. Интервал, на котором находятся все значения вариант, делят на т равных частей и через обозначают сумму всех частот, варианты которых оказались на -ом отрезке. Если в генеральной совокупности признак имеет дискретное значение, то промежуток в котором находятся варианты разбиваем на части так, чтобы на каждом участке была одна варианта.

Дата добавления: 2015-07-11