Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Читайте также:
  1. Q]3:1: Общие уравнения прямой в пространстве
  2. Векторные дифференциальные операции первого порядка. Оператор Гамильтона. Перечислить векторные дифференциальные операции второго порядка.
  3. Вывод уравнения Нернста
  4. Дифференциальные уравнения высших порядков.
  5. ИДЗ 2. Линейные операторы
  6. Каковы основные правила нанесения размеров на чертежах? Какие размеры относят к справочным? В каких единицах измерения указывают на чертежах линейные и угловые размеры?
  7. Канонические уравнения метода перемещений

с произвольными коэффициентами.

 

Рассмотрим уравнение вида

С учетом обозначения можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

 

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.

Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

 

Пусть - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

 

Далее покажем, что сумма является общим решением неоднородного уравнения.

 

Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.

Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

 

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

 

 

Пример. Решить уравнение

Решаем линейное однородное уравнение

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

 

Из соотношения найдем функцию А(х).

 

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

Окончательный ответ:

Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.

Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

 


Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 73 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Способ. Метод неопределенных коэффициентов. | Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными. | Теорема. (Достаточные условия экстремума). | Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. | Уравнения с разделяющимися переменными | Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение | Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений. | Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши. | Уравнения, не содержащие явно искомой функции | Линейные однородные дифференциальные уравнения с |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
При этом многочлен называется характеристическим многочленомдифференциального уравнения.| Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.018 сек.)