Частотно-пространственная миграция

В предыдущих разделах были исследованы практические аспекты конечноразностного метода, суммирования Кирхгоффа и f-k-миграции. Все эти методы обладают некоторыми достоинствами и недостатками. Мы видели, что метод суммирования Кирхгоффа может оперировать наклонами до 90°, но имеет ограничения по вариациям скоростей в латеральном направлении. Конечноразностные методы, основанные на параболической аппроксимации скалярного волнового уравнения, может оперировать наклонами только до 35°. С другой стороны, эти методы не имеют проблем в случае скоростей, изменяющихся в латеральном направлении. Методики, работающие в частотной области, не имеют ограничений по углу наклона, но не могут работать в случае значительных изменений скоростей.

В этом разделе мы рассмотрим другую конечноразностную методику, которая может оперировать большими наклонами и всеми типами изменений скоростей. Обсуждение с математической точки зрения приводится в Приложении С.3. Метод реализован в гибридной области (hybrid domain) частоты – пространства (w, х); следовательно, он обычно упоминается как омега- х метод или f-x метод. Уравнение, соответствующее наклону 15° (15-degree equation), выведено из разложения в ряд Тэйлора дисперсионного соотношения [уравнение (С.29)]. Омега- x метод основан на разложении в ряд непрерывной дроби [уравнение (С.42)], что позволяет угловую аппроксимацию в более широких пределах. Kjartansson (1979) реализовал уравнение, соответствующее наклону 45° для моделирования и миграции. Это уравнение может обеспечивать точность для наклонов до 65°; для этого нужно лишь подобрать некоторые коэффициенты (Приложение С.3). Операторы высшего порядка можно получить путем последовательного применения ряда таких операторов, как оператор, соответствующий наклону 45° (Ма, 1981) с другим набором коэффициентов (Lee и Suh, 1985) (рис.4.90).

Рис.4.88 Тесты ошибок скоростей в миграции методом смещения по фазе; перемиграция вызвана использованием слишком низких скоростей. Входная сумма и желаемая миграция показаны на рис.4.57.

Рис.4.89 Комбинированные результаты миграции на рис.4.87 и 4.88. В и А – наклонное отражение соответственно до и после желаемой миграции; D = дифрагированная волна; L = скорость ниже, чем скорость в среде; Н = скорость выше, чем скорость в среде.

Как было рассмотрено в Разделе 4.3.2, наиболее важным параметром в конечноразностных методах является размер шага по глубине, который используется при –продолжении вниз волнового поля, зарегистрированного на поверхности. Мы хотим выбрать оптимальный шаг, достаточно большой (из экономических соображений), который, тем не менее, давал бы приемлемую ошибку определения положения отражений после миграции. Уравнение, соответствующее наклону 15°, ведет себя несколько иначе, чем уравнение, соответствующее наклону 45° при изменении шага по глубине. Снова исследуем результаты тестов, выполненных на наклонных отражениях и моделях дифрагированных волн (Раздел 4.3.2), используя конечноразностной алгоритм, соответствующий наклону 15°. Повторяя те же самые тесты с применением f-x-алгоритма, соответствующего наклону 65°, получим результаты представленные на рис.4.91 – 4.96.

При больших шагах по глубине алгоритм недомигрирует годограф дифрагированной волны (рис.4.91), как в случае наклона 15° (рис.4.59). При малых шагах по глубине (4 – 16мс) алгоритм приводит к перемиграции годографа дифрагированной волны (рис.4.92) в отличии от уравнения, соответствующего наклону 15° (рис.4.60).

Рис.4.90 Импульсный отклик операторов частотно-пространственной миграции с различными степенями аппроксимации волнового уравнения, соответствующего пробегу в одном направлении (теоретическая основа изложена в ПриложенииС.3).

При увеличении шага по глубине большие наклоны недомигрируются (рис.4.93), как в случае наклона 15° (рис.4.63). Для сравнения отражение с наибольшим наклоном AB наложено на результаты миграции, использующей различные шаги по глубине. При малых шагах (4 – 16мс) происходит перемиграция более крутых наклонов (рис.4.94), в отличии от уравнения, соответствующего наклону 15° (рис.4.64). Обратите также внимание, что на всех результатах конечноразностной миграции, независимо от ограничения по углу наклона, имеются знакомые нам дисперсионные помехи (рис.4.91 и 4.93). Сравнение со случаем наклона 15° (рис.4.59 и 4.63) предполагает, что рабочие характеристики

уравнения, соответствующего наклону 45° с точки зрения дисперсионных помех и недомиграции ненамного лучше, чем у уравнения, соответствующего наклону 15°. Это, в частности, верно для сильных наклонов, мигрированных с большими шагами по глубине. Теоретически, дифференциальное уравнение, соответствующее наклону 45°, является более точным, чем дифференциальное уравнение, соответствующее наклону 15°. Однако, после дискретизации разность рабочих характеристик двух уравнений может уменьшиться (Diet и Lailly 1984). Хорошая программа конечноразностной миграции использует схемы нахождения конечных приращений, которые сохраняют точность по углу наклона подразумеваемую соответствующим дифференциальным уравнением.

Очевидно, что аппроксимация высшего порядка, например, уравнение, соответствующее наклону 65°, дает меньшую свободу выбора оптимального шага по глубине по сравнению с уравнением, соответствующим наклону 15°. В частности, оптимальный шаг по глубине равен 20мс для показанных здесь моделей; любое отклонение от этой глубины может привести к недомиграции или к перемиграции. Однако, нет сомнения, что алгоритм, соответствующий наклону 65°, может мигрировать более сильные наклоны и сжимать дифрагированные волны с большей точностью, нежели уравнение, соответствующее наклону 15° (сравните рис.4.59 и рис.4.91, рис.4.63 и рис.4.93; шаг по глубине равен 20мс).

На рис.4.95 показан пример полевых данных. Здесь данные были мигрированы с тремя различными аппроксимациями (15°, 45°, 65°) в частотно-пространственной области. По мере перехода аппроксимации с большим углом сжатия дифрагированной волны приобретает более полный характер и сильно наклоненные отражения мигрируется точнее. Сравните эти результаты с желаемой миграцией на рис.4.57b. Обратите также внимание на аналогичные результаты, полученные по t-x-алгоритму, соответствующему наклону 15° (рис.4.57с) и алгоритму омега-х, соответствующему наклону 15° (рис.4.95а).

Сейчас рассмотрим тест ошибки определения скорости с использованием алгоритма омега-х. Когда скорости ниже, чем скорость в среде, годограф дифрагированной волны становится недомигрированным (рис.4.96), но не на столько, как в случае уравнения, соответствующего наклону 15° (рис.4.67). Когда скорость больше, чем скорость в среде, годограф дифрагированной волны становится перемигрированным (рис.4.97) так же, как в случае уравнения, соответствующего наклону 15° (рис.4.68). Снова мы видим, что алгоритмы, ориентированные на большие наклоны, более чувствительны к ошибкам определения скоростей. Аналогичные заключения можно сделать для модели наклонных отражений (рис.4.98 и 4.99; сравните с рис.4.69 и 4.70).

Мы кратко рассмотрели методику конечноразностной миграции наклонов 65°, реализованную в частотно-пространственной области. На практике этот метод может быть использован для миграции наклонов до 80°. Другое важное преимущество этого метода состоит в его исключительной способности оперировать любыми изменениями скоростей, как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении. Его точность, в случае изменения скорости в латеральном направлении, обусловлена тем, что смещение во времени, ассоциированное с элементом тонкой линзы [уравнение (4.16)], может быть точно реализовано в частотной области. По этой причине алгоритм больше подходит для миграции по глубине, которая требуется для получения изображения объектов, расположенных под сложными структурами (Раздел 5.2) и для получения трехмерного изображения разреза (Раздел 6.5 и Приложение С.8).

Важное преимущество миграции омега-х состоит в том, что каждая частота может быть обработана отдельно. Это свойство может значительно снизить требования, предъявляемые к памяти компьютера; следовательно, уменьшить количество операций ввода/вывода для больших набора данных, таких как трехмерные съемки. Кроме того, в миграции омега-х могут быть реализованы некоторые свойства точности. Например, экстраполяция формы волны может быть ограничена полосой пропускания сигнала определенной ширины. Каждая частотная составляющая может быть продолжена вниз с применением оптимального шага по глубине, который дает минимальную ошибку по фазе, ведущую к минимальному количеству дисперсионных помех на мигрированном разрезе.

Рис.4.91 Влияние шагов по глубине от 20 до 80мс на способность уравнения, соответствующего наклону 65° сжимать годограф дифрагированной волны. Обратите внимание на недомиграцию при больших шагах.

Рис.4.92 Влияние шагов по глубине от 4 до 16мс на способность уравнения, соответствующего наклону 65° сжимать годограф дифрагированной волны.

Рис.4.93 Влияние шагов по глубине от 20 до 80мс на способность уравнения, соответствующего наклону 65° мигрировать отражения от наклонных поверхностей. Обратите внимание на недомиграцию при больших шагах.

Рис.4.94 Влияние шагов по глубине от 4 до 16мс на способность уравнения, соответствующего наклону 65° мигрировать отражения. Обратите внимание на недомиграцию при малых шагах.

Рис. 4.95 Частотно-пространственная миграция суммы ОСТ на рис.4.57а. Желаемая миграция показана на рис.4.57b. Обратите внимание, что при аппроксимации возрастающими углами качество изображения улучшается: (а) 15°; (b) 45°; (с) 65°.

Рис.4.96 Недомиграция годографа дифрагированной волны с применением уравнения, соответствующего наклону 65°; используются скорости меньшие, чем скорость в среде.

Рис.4.97 Перемиграция годографа дифрагированной волны с применением уравнения, соответствующего наклону 65°; используются скорости большие, чем скорость в среде.

Рис.4.98 Недомиграция наклонных отражений с применением уравнения, соответствующего наклону 65°; используются скорости меньшие, чем скорость в среде.

Рис.4.99 Перемиграция наклонных отражений с применением уравнения, соответствующего наклону 65°; используются скорости большие, чем скорость в среде.

Дата добавления: 2015-12-07