Пространственная миграция

(Frequency-Wavenumber Migration)

Stilt (1978) ввел в миграцию методы преобразования Фурье. С этого времени появился ряд статей по теории и о практической стороне пространственной миграции. Gazdag (1978) опубликовал свою работу о методе смещения по фазе, которая привела к дальнейшему пониманию экстраполяции волнового поля в области преобразования. Пространственная миграция (f-k-миграция) с физической точки зрения объясняется не так просто, как миграция Кирхгоффа или конечноразностная миграция. Chun и Jacewitz (1981) позволили взглянуть внутрь основ пространственной миграции.

Рис.4.31 Сейсмический разрез, представленный плоскостью (x, t) на поверхности (z = 0), может быть продолжен вниз с целью получения временных разрезов на дискретных уровнях глубин. Направление экстраполирования обозначено толстой стрелкой. Мигрированный разрез представлен плоскостью (x, z) на времени t =0 (принцип получения изображения).

Рис.4.32 Обратная миграция во времени: начинаем с плоскости (x, z) на дне куба данных и экстраполируем в направлении t = 0, чтобы рассчитать мгновенные кадры плоскости (x, z) на различных временах. Эти мгновенные кадры обозначены горизонтальными плоскостями; направление экстраполяции показано толстой стрелкой. На каждом временном уровне в плоскости (x, z) из сейсмического разреза включает граничную величину (срез х при t = 0 – обозначено пунктирной линией). Мигрированный разрез представляет собой плоскость (x, z) при t = 0 (верхняя горизонтальная плоскость).

Рис. 4. 33 Миграция наклонной отражающей поверхности в областях (t, x) (вверху) и (f, k) (внизу). Энергия А, ассоциированная с наиболее сильным наклоном, после миграции попадает в В. С упоминается в упражнении 4.14. Скорость в среде постоянная и равна 3500м/с.

В Разделе 1.6 мы видели, что отражения от наклонных ОП в пространстве (t, x) попадают в область f - k в виде радиальных линий. Чем больше угол падения ОП, тем ближе радиальная линия к оси волновых чисел. На рис.4.33 дается пространственное представление отражений от наклонных ОП до и после миграции. Обратите внимание, что миграция поворачивает радиальные линии в двумерном амплитудном спектре от оси нулевого волнового числа. Это вращение напоминает открывание конуса. Отражение от самой крутой ОП, представленное радиальной линией А, после миграции попадает на радиальную линию В.

Рис.4.34 Миграция в области (f, k). (а) Наклонная отражающая поверхность представлена радиальной линией ОВ в плоскости (f, k). (b) После миграции радиальная линия ОВ попадает на другую линию ОВ?, а В попадает на В?. Горизонтальное волновое число при миграции не изменяется. Для сопоставления f - k -отклик отражения от наклонной поверхности до миграции (а) наложен на отклик после миграции (b). (Chun и Jacewitz, 1981.)

Миграция отражения от наклонной поверхности в области f - k показана на рис.4.34. Вертикальная ось – это ось частот w для отражения до миграции; это вертикальное волновое число kz, ассоциированное с осью глубин для мигрированного отражения. Данный рисунок является пространственным эквивалентом рисунка 4.14. На обоих рисунках мы предполагаем, что скорость равна 1. Пространственная миграция размещает линии постоянной частоты АВ на плоскости (w, kx ) в точки АВ? на плоскости (kz, kx). Следовательно, миграция переносит точку В по вертикали в точку В?. В этом процессе горизонтальное волновое число kx не изменяется в результате миграции. После окончания миграции, отражение ОВ от наклонной поверхности становится ОВ?; следовательно, угол падения после миграции больше, чем до миграции (q). Для сравнения эти две радиальные линии показаны на одной и той же плоскости (kz, kx). Сейчас мы исследуем годограф дифрагированной волны и его сжатия в точку миграции в f-k -области. На рис.4.35 показан годограф дифрагированной волны в областях (t, x) и (f, k). Предположим, что годограф состоит из последовательности наклонных участков А, В, С, D, Е.

Участок А с нулевым наклоном находится на вершине гиперболы, а участок Е с наибольшим наклоном расположен вдоль асимптоты. В пространстве (f, k) участок А располагается вдоль оси частот, а наклонные участки В, С, D – вдоль радиальных линий, постепенно удаляющихся от оси частот. Участок Е располагается вдоль радиальной линии, которая представляет границу между областями распространения и исчезновения. Область исчезновения соответствует энергии, которая расположена при угле 90° от вертикали или больше. Противоположная сторона гиперболы попадает во второй квадрат плоскости f-k, где k_x имеют отрицательные значения.

Анализ, приведенный на рис.4.35, основан на представлении гиперболы в виде последовательности отдельных наклонных участков. В непрерывном случае гипербола представляется в виде конуса в области частот. Миграция раскрывает этот конус, как показано на рис.4.36.

Мы ожидаем, что миграция сожмет гиперболу в точку на ее вершине. Спектр этого мигрированного разреза в действительности должен походить на спектр, представленный на рис.4.37, где он имеет форму прямоугольника. Почему возникает различие между этим спектром и спектром после миграции на рис.4.36?

Если мы начнем с точки и смоделируем ее, получим гиперболу на рис.4.37. В действительности же мы имеем дело с гиперболой, показанной на рис.4.36. Эти две гиперболы в области (t, x) не выглядят разными, но обратите внимание на различие их пространственных спектров. F-k -спектр реальной дифрагированной волны, который всегда подвергается полосовой фильтрации (рис.4.36), теряет энергию приблизительно над линией 42Гц, тогда как на f-k-спектре смоделированной дифрагированной волны (рис.4.37) такая энергия присутствует. Эта потеря высоких частот и обуславливает различие между спектрами после миграции.

Математический вывод методик пространственной миграции дается в уравнении (С.4). На рис.4.38 показана блок-схема метода смещения по фазе; ее обоснование приводится в Приложении (С.7). Продолжение вниз включает чистую операцию смещения по фазе exp (- ik_zz). На каждом шаге z рассчитывается новый оператор экстраполирования со скоростью, определенной для этой величины z. Как и для любой другой миграции, на каждом шаге экстраполирования нам необходимо привлекать принцип получения изображения (t = 0), чтобы получить мигрированный разрез. Для выполнения условия получения изображения t = 0 необходимо выполнить суммирование экстраполируемого волнового поля по всем частотным составляющим на каждом шаге глубины. Это можно видеть из интегрального представления обратного преобразования Фурье экстраполированного волнового поля [см. уравнение (С.52)]. Процедура продолжения вниз и получения изображения повторяется до тех пор, пока все волновое поле не будет мигрировано.

Рис.4.35 Гипербола попадает на треугольный участок на плоскости (f, k) (подробности в тексте).

Рис.4.36 Дифрагированная волна и ее миграция в областях (t, x) (вверху) и (f, k) (внизу).

Метод смещения по фазе (Gazdag, 1978) может оперировать только скоростями, изменяющимися в вертикальном направлении. Gazdag и Squazzero (1984) расширили этот метод так, чтобы можно было оперировать изменениями скоростей в латеральном направлении. Для этого входное волновое поле сначала экстраполируется методом смещения по фазе с применением ряда скоростных функций, не изменяющихся в латеральном направлении; создается последовательность опорных волновых полей. Затем рассчитывается волновое поле путем интерполяции из опорных волновых полей. Этот метод миграции известен как смещение по фазе плюс интерполяция (phase-shift-interpolation).

Рис.4.37 Миграция дифрагированной волны в областях (t, x) (вверху) и (f, k) (внизу). В реальности такие гиперболы не встречаются; мы имеем дело с гиперболами через полосовой фильтр (рис.4.36). Обратите внимание на различие амплитудных спектров двух гипербол.

Если скорость в среде постоянная, эта миграция может быть выражена как прямой переход от изменения частоты во времени w к вертикальному волновому числу k_z (Stolt, 1978) (рис.4.34). На рис.4.39 приведена блок-схема алгоритма Stolt; см. также Приложение С.4.

Эффективность алгоритма Stolt для постоянной скорости объясняется прямым переходом, который дается уравнением (С.35). Однако для расчета соответствующей w для данных величин k_x и k_z алгоритм включает интерполяцию в пространстве (f, k). Вопрос в том, имеет ли этот метод, какую-либо практическую ценность, поскольку в реальности разрезов с постоянной скоростью не бывает.

Stolt расширил свой метод для оперирования изменениями скоростей (Приложение С.4). Для случая изменяющейся скорости расширения Stolt включает (1) модифицирование входного волнового поля таким образом, чтобы оно выглядело как отклик разреза с постоянной скоростью; (2) применение алгоритма, использующего постоянную скорость (см. рис.4.39); (3) обращение первоначальной модификации входного волнового поля. Эта модификация, в сущности, представляет собой тип растяжения оси времен (см. Приложение С.4), который позволяет сделать времена отражений приблизительно эквивалентными временам, зарегистрированным для разреза с постоянной скоростью. Характер растяжения описан так называемым коэффициентом растяжения W. Случай постоянной скорости эквивалентен W=1. На практике алгоритм постоянной скорости используется в остаточной миграции (Раздел 4.3.3 и Приложение С.5).

Обычно результаты миграции со смещением по фазе и миграция Stolt отображаются в полном вертикальном времени пробега t = 2 z / v (аналогично результатам конечноразностной миграции и миграции Кирхгоффа). На практике размещение в f-k -области происходит из (w,k_z) в (w_t,k_x), а не в (k_z, k_x), где w_t - двойное преобразование Фурье t и представляет собой k_z, умноженное на v /2. Уравнения (С.52) и (С.55) могут быть выражены соответственно для методов Stolt и смещения по фазе в единицах t, а не z; для этого вместо уравнения (С.53) используется уравнение (с.38а).

Из анализа, приведенного выше, следует важная концепция. Из уравнения (С.38а) мы видим, что для постоянной k_x w > w_t; следовательно, миграция смещает полосу пропускания в сторону низких частот. Это аналогично заключению, сделанному по отношению к поправке за нормальное приращение, т.к. она также обуславливает растяжение данных в сторону низких частот (Раздел 3.2.2).

Рис.4.38 Блок-схема для миграции методом смещения по фазе Gazdag.

Рис.4.39 Блок-схема для миграции Stolt с постоянной скоростью.

Дата добавления: 2015-12-07