Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

.

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет равна:

. (3.1)

Коэффициенты в числителе имеют одинаковую величину. Рассчитываем её по формуле:

.

Коэффициенты знаменателя выражения (3.1) находим по формулам:

и ,

где – значения полюсов по таблице 3.1;

Значения всех рассчитанных коэффициентов сводим в таблицу 3.2.

Таблица 3.2 – Значения коэффициентов передаточной функции

Номер сомножителя,	Значения коэффициентов
	8,2632	5,1749	0,960
	8,2632	3,0048	1,329
	8,2632	2,1702	0,693

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (3.1) получаем передаточную функцию ARC-фильтра:

(3.2)

3.3 Расчёт элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рисунок 3.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рисунке 3.1, в виде:

(3.3)

Рисунок 3.1 – Принципиальная схема активного полосового фильтра

на операционном усилителе

Из формулы (3.3) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (3.2) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчёт элементов этих схем ведётся путём сравнения идентичных коэффициентов в формулах (3.2) и (3.3).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (3.2):

(3.4)

В системе (3.4) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому необходимо задаться некоторыми значениями, например, ёмкостей конденсаторов и (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой ёмкостью нет вообще).

Если принять , то, решая (3.4), получим:

Таким образом, для первого звена значения сопротивлений будут следующие:

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же , получаем:

Итак, для второго звена:

Аналогично для третьего звена:

Таким образом, для третьего звена:

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений и в каждом звене берём постоянные резисторы из ряда Е24 с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению: для первого звена – для второго звена – и для третьего – Сопротивление берём составным, из последовательно соединенных постоянного и переменного резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра. Номиналы переменных резисторов выбираем из ряда Е6: для первого звена – для второго звена – для третьего – Тогда резисторы должны иметь значения:

Окончательные значения резисторов согласно ряду Е24, равны: для первого звена – для второго звена – для третьего –

4 Проверка результатов расчёта

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график или всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходным требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (2.5) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (3.3). Очевидно, что всего фильтра будет:

(4.1)

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула (4.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчётов.

С этой целью в (3.3) производим замену переменной вида в результате чего получаем выражение:

Представляем модуль в виде:

(4.2)

Зная легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

, (4.3)

где (4.4)

Выполняем последовательно расчёт первого, второго и третьего звеньев. Значения элементов берём из раздела 2.3. Для первого звена они равны: Подставляем эти значения в (4.2):

На час­тоте границы ПН находим :

На частоте границы ПП находим :

На частоте границы ПП находим :

На час­тоте границы ПН находим :

Для второго звена значения элементов равны: поэтому:

На час­тоте границы ПН находим :

На частоте границы ПП находим :

На частоте границы ПП находим :

На час­тоте границы ПН находим :

Для третьего звена значения элементов равны: поэтому:

На частоте границы ПН находим :

На частоте границы ПП находим :

На частоте границы ПП находим :

На частоте границы ПН находим :

всего фильтра вычисляем по формуле (4.1):

;

;

;

.

Далее по формуле (4.4) рассчитываем ослабления вначале каждого звена на разных частотах. Для первого звена получаем:

;

;

;

.

Для второго звена получаем:

;

;

;

.

И, наконец, для третьего звена:

;

;

;

.

Теперь, находим ослабления всего фильтра на разных частотах:

Все результаты сво­дим в таблицу 4.1.

При анализе табличных данных обращаем внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра. Если сравнивать рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах (раздел 2.2), то можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии. При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.

В ходе расчёта по формуле (4.2) обращаем внимание на то, что значение наиболее сильно зависит от величины сопротивления , поэтому именно это сопротивление выбираем переменным.

На рисунке 4.1 строим ожидаемую теоретическую кривую зависимости ослабления фильтра от частоты, а на рисунке 4.2 приводим принципиальную схему активного полосового фильтра.

Таблица 4.1 – Значения функций и на границах ПП и ПН

, кГц
36,458	41,667	58,333	66,667
	0,420	0,707	0,707	0,420
	0,235	0,334	2,726	0,779
	1,079	3,779	0,468	0,325
	0,106	0,891	0,902	0,106
, дБ	7,535	3,007	3,007	7,535
, дБ	12,593	9,529	-8,709	2,167
, дБ	–0,659	–11,547	6,689	9,766
, дБ	19,468	0,989	0,987	19,468

Рисунок 3.1 – Зависимость ослабления фильтра от частоты

Рисунок 3.2 – Принципиальная схема активного полосового фильтра

Литература

1) Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589 с.

2) Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М: Радио и связь, 1998. – 444 с.

3) Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1990. – 544 с.

4) Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений. — M.: Радио и связь, 1989. – 328 с.

5) Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. – М.: Радио и связь, 1983. – 752 с.

6) Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с.

Дата добавления: 2015-12-07