Математическая модель корректных задач

Математическая модель физической задачи или сложной задачи интерпретации корректно поставлена, если она математически и физически определена. Такой математической моделью является операторное уравнение I рода . Здесь искомый, заданный элементы некоторых, вообще говоря, топологических пространств и , а оператор , не обязательно линейный, действует из передающего пространства в приёмное пространство .

Пространства, в которых мы будем работать в дальнейшем, будут, в худшем случае, банаховыми, а оператор будем полагать линейным. Если пространства и функциональные, то операторное уравнение будем записывать так: , где . Если задан , а искомый элемент, то задача решения операторного уравнения называется прямой, а если задан , а искомый элемент, то это обратная задача. Но оператор всегда таков, что . Здесь область определения, а - множество значений оператора . В простейшем случае задача математически определена, если , , и . Если это не так, то понятие математической определенности требует специального уточнения.

Рассмотримфизическую определённость задачи . В случае обратной задачи вместо пары мы имеем дело с парой , аппроксимирующей в выбранной топологии пару . Здесь возмущённые значения оператора , а ошибка измерения исходных данных. Возмущение оператора и ошибку измерения исходных данных можно трактовать по-разному, но в классической математике обратная задача заключается в построении сходящейся последовательности значений , где точное решение, при условии, что . То есть всегда полагается, что точное решение существует, единственно и, вне зависимости от характера задачи, к нему можно сколь угодно близко и непрерывным образом приблизиться.

Рассмотрим уравнение , где и гильбертовы пространства, оператор задан точно, , а .

Определение (язык Коши). Оператор называется непрерывным в точке (или ), если .

Определение (язык Гейне). Оператор называется непрерывным в точке , (или ) если , соответствующая последовательность .

Определение. Оператор называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства .

Определение. Прямая задача для операторного уравнения устойчива (операторно устойчива, физически определена), если выполняется . Соответственно о физической определённости обратной задачи говорят, если .

Лишь для корректно поставленных, то есть математически и физически определённых задач, имеет смысл понятие “приближенное решение”: это для прямой задачи и для обратной.

Комментарий. В классическом понимании есть модели реально существующих физических объектов или явлений и некоторый математический инструментарий для их обработки. Но «… о “физическом законе” какого-нибудь явления можно говорить лишь в том случае, когда этот закон является “грубым” относительно предельного перехода от описания с конечной точностью к бесконечно точному и в силу этого недостижимому для любого наблюдателя, кем бы он ни был». Поэтому классическая модель подразумевает, во-первых, что такой переход возможен, а во-вторых, модель никак не должна быть связана с инструментами для её обработки. Изучение математической модели это исследование её на корректность, то есть доказательство теорем о существовании и единственности решения и доказательство устойчивости решения к сколь угодно малым вариациям исходных данных.

Дата добавления: 2015-12-07