Что такое прямые и обратные задачи

Задачи, решаемые в рамках уже построенной модели А.Н.Тихонов предложил разделять на прямые и обратные.

Прямые задачи – задачи отыскания следствий известных или заданных причин (поля при заданных источниках, реакция прибора при заданных воздействиях и т.д.), то есть “вдоль” причинно-следственных или каузальных связей.

Обратные задачи. Два смысла.

1. – задачи отыскания причин известных или заданных следствий, то есть “против” причинно-следственных связей. Они возникают, когда интересующие нас характеристики объекта недоступны для непосредственного наблюдения.

Это, например, восстановление характеристик источников полей по заданным их значениям в некоторых точках, восстановление или интерпретация исходного сигнала по известному выходному сигналу и т. д. Процедура решения таких задач связана с преодолением серьезных математических и идеологических трудностей, главной из которых является наличие априорного представления об объекте изучения. Например, зная закон всемирного тяготения Ньютона можно на любой момент времени рассчитать положения планет Солнечной системы. Однако обратная задача – получить закон всемирного тяготения из наблюдаемого движения планет – значительно более сложная проблема. Успех этой процедуры сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа её обработки. То есть в наше представление об объекте изучения так или иначе должен входить способ получения информации о нём.

Комментарий. Собственно говоря, любая задача измерения обратная, любая физическая теория решение обратной задачи. Кстати, в этом физика (как и любая другая область естествознания), занимающаяся внешним миром, кардинально отличается от математики. В математике доказательство остается верным навсегда. Утверждения математики не могут быть более и менее убедительными. А в физике это совершенно обычно. Даже после появления некоторой общепринятой интерпретации невозможно формально доказать, что она единственно правильна.

2. Однако термин “обратная задача” обычно используют и для сложных задач интерпретации, то есть таких задач, когда:

- неодновременно и не независимо друг от друга измеряется большое число параметров;

- число параметров вообще неопределённо велико.

- исходные данные обладают большими размерностями (тысячи и десятки тысяч факторов и состояний объекта управления или наблюдения), для них неизвестен закон распределения, они являются неполными, неточными и зашумленными.

Комментарий. К настоящему времени сложилась следующая условная классифи­кация обратных задач.

1. Ретроспективные задачи (задачи с обращенным вре­менем) — задачи об определении начального состояния объекта по некоторым функционалам или операторам от решения.

Пример 1. Рассмотрим уравнение движения материальной точки под действием заданной силы: . Зная x(t), найти .

2. Коэффициентные обратные задачи — задачи определения ко­эффициентов дифференциальных операторов.

Пример 2. Для линейных дифференциальных уравнений коэффициентной обратной задачей является задача определения коэффициентов уравнения по известному его решению. Например, для уравнения , зная какое-то его решение, найти коэффициенты и . Естественные уточнения:

- решение не должно быть константой (так как при =0 эта константа произвольна);

- решение не должно быть экспонентой , так как при и общее решение уравнения имеет вид , то есть решение соответствует только одному корню характеристического уравнения.

Легко видеть, что если , то коэффициенты уравнения определятся однозначно, так как, рассматривая исходное уравнение в этих точках, получим СЛАУ , у которой определитель по условию не равен нулю.

3. Граничные обратные задачи (задачи об определении граничных условий).

Пример 3. Рассмотрим процесс изменения температуры в стерж­не, один из концов которого теплоизолирован, а на другом поддержива­ется свободный теплообмен с окружающей средой, причем температура имеет некоторое заданное начальное распределение . Процесс описывается следующей начально-краевой задачей: Зная u(l, t), найти коэффициент теплообме­на .

4. “ Геометрические” обратные задачи (задачи об определении об­ласти, занятой объектом.

Пример 4. Требуется восстановить форму трехмерного тела по набору его ортогональных проекций на различные плоскости (задача компьютерной томографии). Предположим, что в пространстве расположено недоступное для непосредственного наблюдения тело. Однако его можно облучать с раз­личных сторон и регистрировать тень на некоторой плоскости а, перпендикулярной направлению облу­чения. Обратная задача состоит в определе­нии формы тела по семейству его теней.

5. Обратные задачи смешанных типов (неизвестными являются несколько факторов 1-4; например, коэффициенты дифференциальных операторов и область, занятая объектом).

Пример 4. Простейшая линейная модель прибо­ра, регистрирующего какие-либо физические поля (электромагнитные, тепловые), может быть описана следующим образом. На вход прибора поступает сигнал u(t), на выходе регистрируется сигнал , которые связаны зависимостью , где K(t, s) — известная функция. Обратная задача со­стоит в определении входного сигнала u(t) по реги­стрируемой прибором функции f(t), то есть в решении этого уравнения.

Источник

Приемник

Комментарий. Отметим, что эта классификация условна и постановки задач легко трансформируются одна в другую. Лишь иногда возможно получить точное решение обратной задачи. Например, задача Ньютона о нахождении поля сил, в котором материальная точка движется в соответствии с законами Кеплера (одна из первых обратных задач динамики).

Принципиальной чертой этих задач, помимо того, что они в большенстве своём нелинейны, является то, что они могут быть переопределены, то есть иметь противоречивые условия, недоопределены, то есть исходных данных не хватает для однозначного решения, и негрубы, то есть физически нереализуемы.

Дата добавления: 2015-12-07