Что такое модель

“Лучшей моделью кота является другой кот, а еще лучше - тот же самый кот”.

Н.Винер

Математики делают то, что можно, и так, как нужно,

физики делают то, что нужно и так, как можно,

инженеры делают то, что нужно и так, чтобы оно работало.

Алекс Алдер

При изучении реального объекта или явления первый этап – построение теоретической модели (франц. мodelle – образец) этой реальности. При построении теоретической модели некоторые факты, известные лишь с некоторой (даже очень большой) долей вероятности или лишь с некоторой (даже очень большой) точностью, признаются "абсолютно" верными и принимаются за "аксиомы". Смысл этой "абсолютности" состоит в том, что мы работаем с моделью так, как если бы она совпадала с реальностью. Далее, по определённым правилам интерпретации эти "аксиомы" формулируются на языке математики и дальнейшая работа с ними происходит по правилам формальной логики и математики, то есть "теоремами" объявляется все то, что из них можно вывести.

Комментарий. Математику и /или логику можно представить как ядро любой проблемы, имеющей отношение к любой интеллектуальной деятельности человека. Это ядро окружают модели реальности, создаваемые в конкретных предметных областях, вне которых и находится внешний мир. Однако, являясь естественным общезначимым средством науки, математика не может решать никаких проблем ни в одной из предметных областей. То есть никакая математика не может подтвердить никакую теорию. Она может только обнажить проблему, выявить её внутренние противоречия.

Подчеркнём, что модель должна принадлежать математической теории (не обязательно формальной), то есть не должна апеллировать к каким-либо реальным понятиям или аргументам извне.“Математики имеют дело только со структурой рассуждений, и им, в сущности, безразлично, о чем они говорят. В физике вы должны понимать связь слов с реальным миром”. Математическая теория, дополненная набором правил интерпретации, связывающих теоретические величины с нашими наблюдениями, и есть теоретическая или физическая модель реальности. Поскольку она построена по законам математики, то конечное число исходных аксиом представляет собой достаточные условия для получения любого следствия из них. Таким образом, теоретическая модель реальности есть совокупность аксиом, правил вывода и полученных с их помощью теорем, дополненная правилами интерпретации, работающими только на “входе” и “выходе”. Эта совокупность исходных аксиом и правил интерпретации, то есть “перевод” математической задачи на предметный язык и наоборот, и есть простейший источник некорректности.

Пример. Решением уравнения является пара . Однако задача “У Маши и Миши пять игрушек. Сколько игрушек у каждого из детей?” уже некорректна, потому что её нельзя решить однозначно.

Комментарий. 1. Уравнения подобного рода могут быть источником некорректности “физической” задачи. В теории уравнений (дифференциальных и интегральных) уравнения, которые заведомо могут быть источником некорректности “физической” задачи тоже часто называют некорректными. В дальнейшем мы также будем пользоваться этой терминологией.

2. Ясно, что в импликации если истинно, то может быть как истинным, так и ложным. Кроме того, истинно и при других возможных , даже не пересекающихся с данным .Правила интерпретации должны позволять зкспериментальную проверку . Но, как уже отмечалось, никакой эксперимент не может подтвердить никакую теорию, то есть адекватность реальности исходных положений .

Модели бывают

При построении физической модели необходимо:

1. Выяснить, какие свойства нужно рассматривать, а какие можно отбросить. Это называется минимизацией независимых параметров.

Комментарий. Во множестве ситуаций принято жаловаться на недостаток информации, необходимой для конкретного анализа, принятия ответственных решений и т.д. Однако зачастую сталкиваются с прямо противоположной ситуацией ситуацией " информационного джинна". Появление и широкое внедрение компьютеров породило иллюзию, что "чем больше учтем, тем лучше".

Но не ясно, что делать с уже собранной информацией, что следует выделить и уточнить, а что "забыть". Типичные примеры дают данные, поступающие со спутников, с сейсмических станций, метеорологические наблюдения. Огромные массивы информации в этих важных сферах очень часто не дают ни понимания исследуемых процессов, ни возможностей для их прогноза. Громадные объемы данных вообще никогда не анализировались. Другими словами, упорядочение информации, выделение в ней "параметров порядка", анализ вопросов, которые можно задать, располагая этой информацией, выходят на первый план во многих приложениях. Приходится тем или иным способом выделять главные, ведущие переменные, к которым подстраиваются все остальные степени свободы. А это уже упрощение и вмешательство в объективную ситуацию.

Вообще, мы всегда упрощаем, наклеиваем ярлыки. Король, Королева, и есть лучший королевский стрелок. Вы уже представили себе несколько типичных модельных ситуаций. Некоторые литературоведы утверждают, что существует не более двух десятков разных сюжетов, передаваемых из поколения в поколение, независимо от стран, времен, эпох. Или макроэкономика, на основе которой принимают решения политики. Это тоже огромное упрощение. Чтобы описывать развитие гигантской страны с помощью 4-5 переменных (или даже 100), нужна большая интеллектуальная смелость, глубокое понимание существа дела или крайняя степень безграмотности и интеллектуального хамства.

2. Оценивать линейность (нелинейность).

3. Оценивать консервативность (сохранение энергии) или неконсервативность модели. То есть в какой степени можно считать, что в данной модели энергия сохраняется.

4. Учитывать степени свободы. Под степенью свободы понимается число независимых движений, которые совершает система. (Половина порядка дифференциального уравнения, описывающего систему.)

Физическая модель при её формализации может привести к нерешаемым в принципе или нерешаемым аналитически уравнениям, так и к уравнениям, решения которых либо не существует, либо неединственно, либо сильно чувствительно к сколь угодно малым вариациям исходных данных. Это означает, что требуется корректировка модели. Однако может оказаться, что это невозможно.

Уточнение описания обычно связано с построением иерархии математических моделей.

Математическая модель – совокупность уравнений, описывающих физическую модель.Математическая модель, построенная в рамках классической математики, основывается на концепции абсолютной точности исходных данных и проводимых на их основе вычислений, а следовательно, и абсолютной точности результата. Суть её в том, конечная точность начальных данных и вычислений принципиально не меняет сути дела и не ведет к возникновению новых проблем в постановке и решении задач. Этапы изучения математической модели:

1. Доказательство теоремы о существовании и единственности решения.

2. Доказательство корректности или некорректности.

Эйнштейн: "…пока математические законы описывают действительность, они неопределенны, когда они перестают быть неопределенными, они теряют связь с действительностью".

Вычислительные или численные моделии процедуры также является источником погрешностей. Это связано, например, с заменой интеграла суммой, усечением рядов при вычислениях значений функций, интерполированием табличных данных и т.п. При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округлений, связанные с ограниченностью разрядной сетки машины или переводом чисел из одной системы счисления в другую (основание одной системы счисления не является степенью основания другой, что может привести к тому, что в новой системе счисления число становится бесконечной периодической дробью). Как правило, погрешность численного метода регулируема, т.е. она может быть уменьшена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра (например, шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т.п.), если исходная задача корректна.

Однако при решении корректно поставленной задачи может оказаться неустойчивым сам метод ее решения. Некоторые численные алгоритмы тоже чувствительны к неточностям в исходных данных. Задача называется устойчивой по исходному параметру x, если решение y непрерывно от него зависит, т.е. малое приращение исходной величины Dx приводит к малому приращению искомой величины Dy.

Численный алгоритм (метод) называется корректным в случае существования и единственности численного решения при любых значениях исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно погрешностей исходных данных. Нас не будут интересовать численные методы решения корректных или некорректных задач, однако отметим, что для некорректно поставленной задачи все численные алгоритмы её решения будут некорректными. Обратное, вообще говоря, неверно.

Дата добавления: 2015-12-07