Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Полиномиальные фильтры

Читайте также:
  1. Активные RC-фильтры высоких частот 2-го порядка
  2. Активные RC-фильтры нижних частот 1-го порядка
  3. Активные фильтры
  4. Пассивные фильтры
  5. Полосно-заграждающие фильтры
  6. Согласованные фильтры одиночных импульсных сигналов. Импульсная реакция согласованного фильтра. Структурная схема обнаружителя с согласованным фильтром. Частотная характеристика.

 

Полиномиальные фильт­ры – это такие фильтры, передаточная функция которых определяется выражением

 

(42)

где v(p) – полином Гурвица порядка n; постоянный множитель b0 определяет величину ослабления фильтра прототипа нижних частот (ФПНЧ) на частоте Ω=0.

По полосе частот полиномиальные фильтры разделяются на: ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.

Ослабление полиномиального фильтра (т. е. его АЧХ) является четной

функцией нормирования частоты вида

 

(43)

 

где |H(jΩ)| - модуль передаточной функции фильтра.

Если An-1=An-2=A1=0, a A0=An=1, то

 

(44)

 

Для полиномиальных фильтров Баттерворта частоту ω принято нормировать на частоте ω0, при которой |H(jΩ)| уменьшается до 0,707 относительно максимального значения Н(0)=1. При этом A0=1 и

 

(45)

 

Такие полиномиальные фильтры называют фильтрами с максимально плоской характеристикой или фильтрами с характеристиками Баттерворта.

Передаточная функция этих фильтров

 

(46)

 

Если по условиям задачи ослабление в ПП ФНЧ на его граничной частоте ω1 не должно превышать некоторого значения ∆А, не равного 3 dB, то нормирующая частота

 

(47)

 

а ослабление ФНЧ Баттерворта

 

(48)

 

(49)

 

где v(s)=sn+a1sn-1+…+an - полином Гурвица, а s = p/ ω0.

Нули полинома Баттерворта рассчитываются по формулам:

при четных n

 

(50)

 

при нечетных n

 

(51)

 

В формулах 50 и 51 k =1,2,3,…,2 n. Из этих 2 n значений надо выбрать те n значений, для которых sk имеют отрицательные вещественные части.

Произведение сомножителей (s-sk),соответствующие всем s k с отрицательными вещественными частями, образуют полином v(s):

 

v(s)=П(s-sk) (52)

 

На основе использования формул 50 и 51 составлена таблица 1 коэффициентов полиномов Баттерворта для n=2-7.

Таблица 1.

n а1 а2 а3 а4 а5 а6
  1,4142 - - - - -
  2,0000 2,0000 - - - -
  2,6131 3,4142 2,6131 - - -
  3,2361 5,2361 5,2361 3,2361 - -
  3,8637 7,4641 9,1461 7,4641 3,8637 -
  4,4940 10,0978 14,5918 14,5918 10,0978 4,4940

При расчете полиномиального ФНЧ вначале следует определить порядок n фильтра-прототипа нижних частот по одной из следующих формул:

а) для фильтра с плоской характеристикой в ПП (фильтра Баттерворта)

 

(53)

 

б) для фильтра с равномерно-колебательной характери­стикой в ПП (фильтр Чебышева)

 

(54)

 

где ∆А - максимально допустимое ослабление в полосе пропускания;

As- минимально допустимое ослабление в полосе задерживания;

Ωs= fs/f1 -нормированная частота ФНЧ на границе полосы задерживания.

Значения n, полученные по этим формулам, должны быть округлены до ближайшего большего целого числа.

В формулах (53) и (54) значения нормированной частоты имеют следующие выражения:

для ФНЧ

 

(55)

для ФВЧ

 

(56)

 

для ПФ

 

(57)

 

для РФ

 

(58)

 

В формулах 55, 56 f1 —граничные частоты ПП ФНЧ и ФВЧ.

 

(59)

 

k — коэффициент преобразования ширины ПП полосово­го фильтра в фильтр прототип нижних частот (ФПНЧ), f1 и f2 — граничные частоты ПП ПФ и РФ.

 

(60)

 

f0—средняя геометрическая частота ПФ или РФ.

Если по заданию для фильтра Баттерворта на границе ω1 полосы его пропускания ∆А имеет значение, не равное 3 дБ, то нормирующую частоту для ФВЧ рассчитывают по формуле

 

(61)

 

Синтез двусторонне нагруженного ФНЧ Баттерворта при Rr=Rн проводится на основе формулы входного сопротивления, которая в нормированных значе­ниях имеет вид

 

(62)

 

Здесь h(s)-функция фильтрации, для фильтра Баттерворта п-го порядка она равна

 

(63)

 

Это выражение раскладывается в цепную дробь следующего вида:

 

(64)

которое в случае верхних знаков и в зависимости от четности или нечетности п представляет собой пару схем: рисунок 15, а и в для п нечетных, а для нижних знаков – другую пару схем: рисунок 15, б иг для п четных.


Элементы этих схем выражают собой нормированные индуктивности и емкости. Нормированные значения элемен­тов фильтров Баттерворта 2-7 порядков двусторонне нагруженных при Rr = RH = R, рассчитанные по формуле, в результате разложения в цепную дробь приведены в таблице 2.

Рисунок 15 – Эквивалентные схемы ФПНЧ

 


Таблица 2

n с1 l2 c3 l4 c5 l6 c7
  2,0000 - - - - - -
  1,4142 1,4142 - - - - -
  1,0000 2,0000 1,0000 - - - -
  0,7654 1,8478 1,8478 0,7654 - - -
  0,6180 1,6180 2,0000 1,6180 0,6180 - -
  0,5176 1,4142 1,9319 1,9319 1,4142 0,5176 -
  0,4450 1,2470 1,8019 2,0000 1,8019 1,2470 0,4450

При расчете двусторонне нагруженных фильтров Баттерворта и Чебышева при Rr = Rн для нечетных значений п и любых ∆А схемы фильтров симметричны относительно вертикальной оси, проведенной по середине фильтра, т. е. каждая половина представляет собой зеркальное отображение другой относительно этой оси.

Синтез односторонне нагруженного фильтра Баттерворта и Чебышева осуществляется образованием выражения входного сопротивления по формуле

 

(65)

 

которое раскладывается в цепную схему.

Значения элементов для нормализированного фильтра Баттерворта приведены в таблице 3[2].

 

Таблица 3

n c1 l2 c3 l4 c5 l6 c7 l8 c9
  1,0000 - - - - - - - -
  0,7071 1,4142 - - - - - - -
  0,5000 1,3333 1,5000 - - - - - -
  0,3827 1,0824 1,5772 1,5307 - - - - -
  0,3090 0,8944 1,3820 1,6944 1,5451 - - - -
  0,2588 0,7579 1,2016 1,5529 1,7593 1,5529 - - -
  0,2225 0,6560 1,0550 1,3972 1,6588 1,7988 1,5576 - -
  0,1951 0,5776 0,9370 1,2588 1,5283 1,7287 1,8246 1,5607 -
  0,1736 0,5155 0,8414 1,1408 1,4037 1,6202 1,7772 1,8424 1,5628

Расчет фильтров ВЧ и симметричных ПФ и РФ

Вначале данные этих фильтров с помощью формул преобразуются в низкочастотный прототип, порядок которого в зависимости от типа фильтра определяют по или. Затем в соответствии с таблицей 4 осуществляется преобразование нормированных элементов ФПНЧ в элементы рассчитываемого фильтра.

Из таблицы видно, что преобразование ФНЧ в ФВЧ состоит в замене нормированных элементов обратными, т. е. ΩB=1/ Ω. Отсюда вытекает связь между любой частотой f ФНЧ и соответствующей частотой fв ФВЧ:

(66)

Таблица 4

Нормированный элемент ФПНЧ Преобразуется в элемент требуемого фильтра Типы фильтров
    ФНЧ
    ФВЧ
  ПФ
  РФ

 

Преобразование ФНЧ в ПФ основано на симметричном преобразовании частоты, при этом индуктивные элементы преобразуются в последовательное соединение индуктивности и емкости, а емкостные — в параллельное соединение ин­дуктивности и емкости. При преобразовании ФНЧ в РФ происходит замена индуктивности параллельным соедине­нием индуктивности и емкости, а емкости — последователь­ным соединением индуктивности и емкости.

Для ПФ и РФ при задании одной частоты полосы задерживания f1s или f2s, другую рассчитывают по формуле[1,с. 415-417].

 

(67)

 


 


Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 232 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)