Читайте также:
|
|
Полиномиальные фильтры – это такие фильтры, передаточная функция которых определяется выражением
(42)
где v(p) – полином Гурвица порядка n; постоянный множитель b0 определяет величину ослабления фильтра прототипа нижних частот (ФПНЧ) на частоте Ω=0.
По полосе частот полиномиальные фильтры разделяются на: ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.
Ослабление полиномиального фильтра (т. е. его АЧХ) является четной
функцией нормирования частоты вида
(43)
где |H(jΩ)| - модуль передаточной функции фильтра.
Если An-1=An-2=A1=0, a A0=An=1, то
(44)
Для полиномиальных фильтров Баттерворта частоту ω принято нормировать на частоте ω0, при которой |H(jΩ)| уменьшается до 0,707 относительно максимального значения Н(0)=1. При этом A0=1 и
(45)
Такие полиномиальные фильтры называют фильтрами с максимально плоской характеристикой или фильтрами с характеристиками Баттерворта.
Передаточная функция этих фильтров
(46)
Если по условиям задачи ослабление в ПП ФНЧ на его граничной частоте ω1 не должно превышать некоторого значения ∆А, не равного 3 dB, то нормирующая частота
(47)
а ослабление ФНЧ Баттерворта
(48)
(49)
где v(s)=sn+a1sn-1+…+an - полином Гурвица, а s = p/ ω0.
Нули полинома Баттерворта рассчитываются по формулам:
при четных n
(50)
при нечетных n
(51)
В формулах 50 и 51 k =1,2,3,…,2 n. Из этих 2 n значений надо выбрать те n значений, для которых sk имеют отрицательные вещественные части.
Произведение сомножителей (s-sk),соответствующие всем s k с отрицательными вещественными частями, образуют полином v(s):
v(s)=П(s-sk) (52)
На основе использования формул 50 и 51 составлена таблица 1 коэффициентов полиномов Баттерворта для n=2-7.
Таблица 1.
n | а1 | а2 | а3 | а4 | а5 | а6 |
1,4142 | - | - | - | - | - | |
2,0000 | 2,0000 | - | - | - | - | |
2,6131 | 3,4142 | 2,6131 | - | - | - | |
3,2361 | 5,2361 | 5,2361 | 3,2361 | - | - | |
3,8637 | 7,4641 | 9,1461 | 7,4641 | 3,8637 | - | |
4,4940 | 10,0978 | 14,5918 | 14,5918 | 10,0978 | 4,4940 |
При расчете полиномиального ФНЧ вначале следует определить порядок n фильтра-прототипа нижних частот по одной из следующих формул:
а) для фильтра с плоской характеристикой в ПП (фильтра Баттерворта)
(53)
б) для фильтра с равномерно-колебательной характеристикой в ПП (фильтр Чебышева)
(54)
где ∆А - максимально допустимое ослабление в полосе пропускания;
As- минимально допустимое ослабление в полосе задерживания;
Ωs= fs/f1 -нормированная частота ФНЧ на границе полосы задерживания.
Значения n, полученные по этим формулам, должны быть округлены до ближайшего большего целого числа.
В формулах (53) и (54) значения нормированной частоты имеют следующие выражения:
для ФНЧ
(55)
для ФВЧ
(56)
для ПФ
(57)
для РФ
(58)
В формулах 55, 56 f1 —граничные частоты ПП ФНЧ и ФВЧ.
(59)
k — коэффициент преобразования ширины ПП полосового фильтра в фильтр прототип нижних частот (ФПНЧ), f1 и f2 — граничные частоты ПП ПФ и РФ.
(60)
f0—средняя геометрическая частота ПФ или РФ.
Если по заданию для фильтра Баттерворта на границе ω1 полосы его пропускания ∆А имеет значение, не равное 3 дБ, то нормирующую частоту для ФВЧ рассчитывают по формуле
(61)
Синтез двусторонне нагруженного ФНЧ Баттерворта при Rr=Rн проводится на основе формулы входного сопротивления, которая в нормированных значениях имеет вид
(62)
Здесь h(s)-функция фильтрации, для фильтра Баттерворта п-го порядка она равна
(63)
Это выражение раскладывается в цепную дробь следующего вида:
(64)
которое в случае верхних знаков и в зависимости от четности или нечетности п представляет собой пару схем: рисунок 15, а и в для п нечетных, а для нижних знаков – другую пару схем: рисунок 15, б иг для п четных.
Элементы этих схем выражают собой нормированные индуктивности и емкости. Нормированные значения элементов фильтров Баттерворта 2-7 порядков двусторонне нагруженных при Rr = RH = R, рассчитанные по формуле, в результате разложения в цепную дробь приведены в таблице 2.
Рисунок 15 – Эквивалентные схемы ФПНЧ |
Таблица 2
n | с1 | l2 | c3 | l4 | c5 | l6 | c7 |
2,0000 | - | - | - | - | - | - | |
1,4142 | 1,4142 | - | - | - | - | - | |
1,0000 | 2,0000 | 1,0000 | - | - | - | - | |
0,7654 | 1,8478 | 1,8478 | 0,7654 | - | - | - | |
0,6180 | 1,6180 | 2,0000 | 1,6180 | 0,6180 | - | - | |
0,5176 | 1,4142 | 1,9319 | 1,9319 | 1,4142 | 0,5176 | - | |
0,4450 | 1,2470 | 1,8019 | 2,0000 | 1,8019 | 1,2470 | 0,4450 |
При расчете двусторонне нагруженных фильтров Баттерворта и Чебышева при Rr = Rн для нечетных значений п и любых ∆А схемы фильтров симметричны относительно вертикальной оси, проведенной по середине фильтра, т. е. каждая половина представляет собой зеркальное отображение другой относительно этой оси.
Синтез односторонне нагруженного фильтра Баттерворта и Чебышева осуществляется образованием выражения входного сопротивления по формуле
(65)
которое раскладывается в цепную схему.
Значения элементов для нормализированного фильтра Баттерворта приведены в таблице 3[2].
Таблица 3
n | c1 | l2 | c3 | l4 | c5 | l6 | c7 | l8 | c9 |
1,0000 | - | - | - | - | - | - | - | - | |
0,7071 | 1,4142 | - | - | - | - | - | - | - | |
0,5000 | 1,3333 | 1,5000 | - | - | - | - | - | - | |
0,3827 | 1,0824 | 1,5772 | 1,5307 | - | - | - | - | - | |
0,3090 | 0,8944 | 1,3820 | 1,6944 | 1,5451 | - | - | - | - | |
0,2588 | 0,7579 | 1,2016 | 1,5529 | 1,7593 | 1,5529 | - | - | - | |
0,2225 | 0,6560 | 1,0550 | 1,3972 | 1,6588 | 1,7988 | 1,5576 | - | - | |
0,1951 | 0,5776 | 0,9370 | 1,2588 | 1,5283 | 1,7287 | 1,8246 | 1,5607 | - | |
0,1736 | 0,5155 | 0,8414 | 1,1408 | 1,4037 | 1,6202 | 1,7772 | 1,8424 | 1,5628 |
Расчет фильтров ВЧ и симметричных ПФ и РФ
Вначале данные этих фильтров с помощью формул преобразуются в низкочастотный прототип, порядок которого в зависимости от типа фильтра определяют по или. Затем в соответствии с таблицей 4 осуществляется преобразование нормированных элементов ФПНЧ в элементы рассчитываемого фильтра.
Из таблицы видно, что преобразование ФНЧ в ФВЧ состоит в замене нормированных элементов обратными, т. е. ΩB=1/ Ω. Отсюда вытекает связь между любой частотой f ФНЧ и соответствующей частотой fв ФВЧ:
(66)
Таблица 4
Нормированный элемент ФПНЧ | Преобразуется в элемент требуемого фильтра | Типы фильтров |
ФНЧ | ||
ФВЧ | ||
ПФ | ||
РФ |
Преобразование ФНЧ в ПФ основано на симметричном преобразовании частоты, при этом индуктивные элементы преобразуются в последовательное соединение индуктивности и емкости, а емкостные — в параллельное соединение индуктивности и емкости. При преобразовании ФНЧ в РФ происходит замена индуктивности параллельным соединением индуктивности и емкости, а емкости — последовательным соединением индуктивности и емкости.
Для ПФ и РФ при задании одной частоты полосы задерживания f1s или f2s, другую рассчитывают по формуле[1,с. 415-417].
(67)
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 232 | Нарушение авторских прав