Читайте также:
|
|
Формула Тейлора для многочлена. Пусть дан некоторый многочлен -й степени (с действительными коэффициентами) . Зададим произвольное и проведем преобразования, заменив на . Получим
Собрав подобные члены при одинаковых степенях, находим Это есть разложение многочлена по степеням разности . Дифференцируя его по , получим
Итак, вычислены коэффициенты
Следовательно, многочлен можно представить в виде Это есть формула Тейлора для многочлена в окрестности точки . -- многочлен Тейлора степени от функции . Если степень многочлена Тейлора для есть , то
Пример. Разложим многочлен по степеням , т. е. в окрестности точки : или по-другому: Тогда многочлен Тейлора степени для есть
Замечание. В этом примере
Формула Тейлора для произвольной функции. Если у функции существует , но функция не есть многочлен, то для нее можно записать многочлен Тейлора и остаточный член , который,вообще говоря,не нуль.Равенство в некоторой окрестности точки называется формулой Тейлора функции в окрестности точки ; -- многочлен Тейлора степени функции , -- -й остаточный член формулы Тейлора.
Теорема (Тейлора). Пусть функция имеет -ю производную в выколотой окрестности точки и в самой точке имеет непрерывную -ю производную.Тогда справедлива формула Тейлора где ее -й остаточный член может быть записан в форме Лагранжа: и в форме Коши: Доказательство проведем для Фиксируем (см. рис.).
Запишем формулу Тейлора функции :
в которой -- остаточный член. Пусть -- произвольное натуральное число. Представим остаточный член в виде где - неизвестно. Ясно, что зависит от Введем новую переменную и рассмотрим функцию Функция обладает следующими свойствами:1) определена и непрерывна на отрезке , поскольку таковы функции на отрезке ;2) имеет производную на интервале , так как на нем имеет производную -го порядка функция ; 3) так как имеет место формула Тейлора для функции . Кроме того, .Следовательно, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая промежуточная точка , между точками и , что в ней .Выпишем производную после всех сокращений и упрощений . Так как , то получим уравнение Отсюда найдем Следовательно, с учетом того, что остаточный член запишется в виде Получен остаточный член в общей форме При получаем остаточный член в форме Лагранжа, а при -- остаточный член в форме Коши.
Замечание. 1. Формулу Тейлора можно записать в виде
2. Формулу Тейлора функции в окрестности точки :
иногда называют формулой Тейлора - Маклорена функции . Остаточные члены
3. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка, непрерывную в точке (следовательно, производная -го порядка непрерывна в окрестности точки ). Тогда справедлива формула Тейлора функции в окрестности точки с остаточным членом в форме Лагранжа: Таким образом, - остаточный член в форме Пеано.
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 59 | Нарушение авторских прав