Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема Тейлора.

Читайте также:
  1. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимостичислового ряда
  2. Основы теории подобия. Анализ размерностей. Теорема Бекингема.
  3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы
  4. Простые и сложные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей
  5. Развитие менеджмента в трудах последователей Тейлора. Школа научного управления.
  6. Теорема 1.1 Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.
  7. Теорема 19.3. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Формула Тейлора для многочлена. Пусть дан некоторый многочлен -й степени (с действительными коэффициентами) . Зададим произвольное и проведем преобразования, заменив на . Получим
Собрав подобные члены при одинаковых степенях, находим Это есть разложение многочлена по степеням разности . Дифференцируя его по , получим
Итак, вычислены коэффициенты
Следовательно, многочлен можно представить в виде Это есть формула Тейлора для многочлена в окрестности точки . -- многочлен Тейлора степени от функции . Если степень многочлена Тейлора для есть , то

Пример. Разложим многочлен по степеням , т. е. в окрестности точки : или по-другому: Тогда многочлен Тейлора степени для есть
Замечание. В этом примере

Формула Тейлора для произвольной функции. Если у функции существует , но функция не есть многочлен, то для нее можно записать многочлен Тейлора и остаточный член , который,вообще говоря,не нуль.Равенство в некоторой окрестности точки называется формулой Тейлора функции в окрестности точки ; -- многочлен Тейлора степени функции , -- -й остаточный член формулы Тейлора.

Теорема (Тейлора). Пусть функция имеет -ю производную в выколотой окрестности точки и в самой точке имеет непрерывную -ю производную.Тогда справедлива формула Тейлора где ее -й остаточный член может быть записан в форме Лагранжа: и в форме Коши: Доказательство проведем для Фиксируем (см. рис.).

Запишем формулу Тейлора функции :

 

в которой -- остаточный член. Пусть -- произвольное натуральное число. Представим остаточный член в виде где - неизвестно. Ясно, что зависит от Введем новую переменную и рассмотрим функцию Функция обладает следующими свойствами:1) определена и непрерывна на отрезке , поскольку таковы функции на отрезке ;2) имеет производную на интервале , так как на нем имеет производную -го порядка функция ; 3) так как имеет место формула Тейлора для функции . Кроме того, .Следовательно, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая промежуточная точка , между точками и , что в ней .Выпишем производную после всех сокращений и упрощений . Так как , то получим уравнение Отсюда найдем Следовательно, с учетом того, что остаточный член запишется в виде Получен остаточный член в общей форме При получаем остаточный член в форме Лагранжа, а при -- остаточный член в форме Коши.

Замечание. 1. Формулу Тейлора можно записать в виде

2. Формулу Тейлора функции в окрестности точки :

иногда называют формулой Тейлора - Маклорена функции . Остаточные члены

3. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка, непрерывную в точке (следовательно, производная -го порядка непрерывна в окрестности точки ). Тогда справедлива формула Тейлора функции в окрестности точки с остаточным членом в форме Лагранжа: Таким образом, - остаточный член в форме Пеано.


Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 59 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)