Теорема о существовании точных границ числовых множеств.

Множество называется ограниченным сверху, если существует число такое, что для всех . Число называется верхней границей (мажорантой) множества .

Точной верхней границей множества называется число такое, что

1) (т.е. -- одна из верхних границ множества );

2) (т.е. границу множества нельзя уменьшить).

Точная верхняя граница множества обозначается
. Аналогично определяется точная нижняя граница множества, которую обозначают :

1) (т.е. -- одна из нижних границ множества );

2) (т.е. границу множества нельзя увеличить).

Теорема. Если непустое множество действительных чисел ограничено сверху, то существует точная верхняя граница этого множества.

Доказательство (метод Больцано - метод деления отрезка пополам). Пусть и множество ограничено сверху числом . Рассмотрим отрезок , заметим, что правее нет точек из . Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим самый правый из них, содержащий хотя бы одну точку из , т. е. правее нет точек из . Так же поступим с отрезком , получим отрезок , содержащий хотя бы одну точку из , правее которого нет точек из . Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность отрезков , длины которых . При этом при любом правее нет точек из . На основании принципа вложенных отрезков (Пусть задана система вложенных отрезков на , т. е. таких, что и длины отрезков при . Тогда существует, и притом единственная, точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам ) существует единственная точка , лежащая во всех отрезках системы .

Докажем, что . В самом деле, по построению для всех и для всех выполняется неравенство . Тогда, переходя к пределу в этом неравенстве при , получим (используя то, что ) неравенство . Возьмем теперь любое . Тогда (так как и ) существует номер такой, что лежит левее отрезка . При этом в лежит хотя бы одна точка , т.е. выполняется неравенство . Следовательно, .

Будем считать в дальнейшем, что если множество неограничено сверху, то , если неограничено снизу, то .

Дата добавления: 2015-12-07