Дополнительные расчёты и сравнительный анализ идеальной и реальной машины Обербека

Читайте также:

4.4.1. Наиболее полный анализ и проверка полученных в опыте результатов получаются при совместном использовании закона сохранения энергии и законов динамики движения исследуемой машины.

Машина Обербека содержит вращающуюся стержневую часть и груз, совершающий поступательное движение. Дополнительным блоком, показанным на рис.2, будем пренебрегать, так как его момент инерции на несколько порядков меньше момента инерции стержневой части. Хотя, при особо точном анализе, следует учесть наличие и этого блока, момент инерции которого изменяет, как показано на рис.2, соотношение сил натяжения нити.

Обозначая силу натяжения нити ₀, запишем систему двух уравнений динамики для идеальной машины:

(25)

Здесь: первое уравнение – это закон динамики вращательного движения стержневой части машины; второе уравнение – закон динамики поступательного движения груза (II закон динамики Ньютона);

- векторы линейного ускорения груза и углового ускорения стержневой части;

- вектор момента силы натяжения относительно точки Р на оси машины;

r – радиус шкива, на который намотана нить;

I_p – момент инерции стержневой части относительно оси вращения;

G = mg – сила тяжести, приложенная к грузу.

Записывая уравнения (25) в виде проекции на оси выбранной системы координат и дополняя их уравнением кинематической связи: a₀ = ± r ·e₀, (где знаки «+» или «-» зависят от направления осей выбранной системы координат), получим формулу для расчёта ускорения груза:

(26)

Далее, задавая высоту спуска груза h и применяя формулы (17), находим время спуска t₀_k и скорость груза в момент окончания спуска.

Значения t₀_k и надо сравнить с полученными в опыте значениями t_k и . Очевидно, что время t₀_k должно быть меньше измеренного в опыте, а скорость , наоборот, больше, так как в реальной машине Обербека существуют потери энергии при спуске, обусловленные, главным образом, работой непотенциальных сил трения

на оси и сопротивления атмосферы при вращении стержневой части машины. Совместный момент этих сил при опускании груза направлен противоположно моменту силы натяжения нити и по этой причине увеличивается время спуска и уменьшается скорость груза, а также – угловая скорость стержневой части машины.

В случае несогласования результатов расчёта t₀_k и для идеальной машины и значений t_k и , полученных в опыте, требуется:

а)проверить расчёт момента инерции I_p;

б) проверить результаты обработки прямых и косвенных измерений в опыте.

4.4.2. При подъёме груза коэффициент полезного действия машины Обербека меньше, чем при спуске. Это объясняется тем, что в начале подъёма происходит рывок нити, то есть кратковременное (Dt» 10^-1¸10^-3с) увеличение её натяжения.

Рывок нити обеспечивает быстрый отрыв груза от подставки и, соответственно, большое ускорение груза в самом начале подъёма. За время рывка средняя сила натяжения нити больше силы тяжести, приложенной к грузу. Такие силы натяжения действуют в результате деформаций, не подчиняющихся закону Гука, и оказываются непотенциальными. Следовательно, работа непотенциальной силы натяжения при рывке нити преобразует часть механической энергии машины Обербека в другие формы энергии.

В опыте этот эффект приводит к тому, что высота подъёма h₁ будет меньше той, на которую поднялся бы груз, если бы действовали только силы трения и сопротивления.

Подумайте, как, используя II закон динамики Ньютона, вычислить среднее значение силы натяжения при рывке нити. Для этого следует принять, что груз в начале подъёма приобретает такую же скорость, как в момент опускания на подставку. Расчёт выполнить для максимальной массы груза (см. условия опыта), время рывка принять Dt = 5·10^-3 c.

4.4.3. В реальных машинах величина потерь энергии и к.п.д. обычно зависят от нагрузки. При этом могут существовать разные зависимости. В случае машины Обербека критерием нагрузки служит масса груза на нити, т.к. с ростом массы увеличиваются: сила тяжести, сила натяжения нити и скорость движения. Характер зависимости хорошо иллюстрируется графиками. Для машины Обербека следует построить графики зависимости к.п.д. от массы грузов и зависимости кинетической энергии Т_к от начальной потенциальной энергии П.

На рис.4 показаны графики для частного (предполагаемого) случая постоянного к.п.д. (рис.4а). При этом условии зависимость Т_к= Т(П) является линейной и представляет собой прямую с наклоном меньше, чем у зависимости для идеального случая: к.п.д. = 1 (рис.4б). Потери энергии растут с увеличением нагрузки: на графике - это отрезки на вертикали между двумя прямыми. Наклон графика определяет постоянный к.п.д. = , где В и Д – значения кинетической и потенциальной энергий на осях координат (см. рис. 4б).

Однако в опыте часто получаются иные зависимости, это определяется качеством балансировки, смазкой подшипников и пр. Например, если потери постоянны при разных нагрузках, тогда с ростом нагрузки к.п.д. будет увеличиваться.

Построив графики типа показанных на рис.4, можно наглядно увидеть, какая зависимость для потерь энергии реализуется в проведённом эксперименте.

1,0