Схема исследования функций

Читайте также:

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика, используя для большей точности дополнительные точки.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (–¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = –1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = – ; x = ; x = –1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпукла вверх

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпукла вверх

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая выпукла вниз

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпукла вверх

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая выпукла вниз

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая выпукла вниз

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Пример.

Исследуйте функцию и постройте ее график

Решение:

1. Область определения данной функции: .

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью O Y :	С осью O X :
	, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
Точка пересечения:	Точки пересечения: ,

3. Т.к. все точки входят в область определения функции, то точек разрыва НЕТ.

4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. – уравнение горизонтальной асимптоты.

5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка - точка экстремума функции.

На участке производная > 0, значит, при , заданная функция возрастает.

На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает.

Следовательно – точка максимума заданной функции .

6. Найдем участки выпуклости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда

Отсюда , .

На участке производная >0, значит это участок выпуклости вниз графика функции.

На участке производная >0,

значит, это тоже участок выпуклости вниз графика функции.

Следовательно, при график заданной функции является выпуклым вниз.

На участке производная <0, значит, при график заданной функции является выпуклым вверх

Следовательно, точки , – точки перегиба графика заданной функции .

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее

Пример 7.

Исследуйте функцию и постройте ее график y =х ⁴ –12 x ² + 11.

Решение.

а) y = х ⁴ –12 x ² + 11

1. Областью определения данной функции, как и всякого многочлена, является вся числовая ось.

2. Функция не имеет точек разрыва.

3. Функция является четной, т.к.

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

При x = 0 из формулы функции найдем y = 1, т.е. точка (0, 1). При
y = 0 найдем x = 1 и x = –1, x = и x =

таким образом, (1, 0), (–1, 0), (, 0), (– , 0) – точки пересечения с осью Ох.

5. Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как она всюду непрерывна. Выясним, имеет ли график функции наклонные асимптоты:

k не является конечным. Следовательно, наклонных асимптот нет.

6. Найдем точки экстремума функции. Первая производная функции равна:

Найдем критические точки в точках х = 0 х = , и х = – , т.е. функция имеет три критические точки, которые являются стационарными. Разобьем область определения функции критическими точками на интервалы, определим знак производной в каждом интервале и поведение функции. Для удобства построим следующую таблицу.


Знак y ¢	–		+	–		+
		–25			–25

Следовательно, х = 0 точка максимума , х = – и х точки минимума .

7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба:

при х = и х = , следовательно, в этих точках может быть перегиб. Исследуем их, для этого построим таблицу:

х	(–¥, )				(, ¥)
Знак у ¢¢	+		–		+
у	È	–9	Ç	–9	È

Следовательно, график имеет две точки перегиба (, –9) и (; –9).

Используя полученные результаты, построим схематично график данной функции, учитывая четность функции, откладывая приближенные значения корней ; ; по оси Ох и выбрав разные масштабы на осях.