Читайте также:
|
|
Задача №1. Вычислить предел числовой последовательности.
Решение: При n→ в числителе и знаменателе дроби бесконечно большие величины образуют неопределённость . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень целочисленной переменной n, в данном случае на n2, получим:
Задача №2. Вычислить придел числовой последовательности
Решение: При под знаком предела имеемнеопределённость . Умножим и разделим на сопряжённое , получим
т. к. и при стремятся к 0
Задача №3. Вычислить предел числовой последовательности
Решение:
т.к. и при стремятся к 0. Здесь мы воспользовались вторым замечательным пределом: .
Задача №4. Доказать ( найти ), что
Решение: Воспользуемся определением предела функции у=f(x) в точке х0. Функция у=f(x) имеет число А своим пределом при х , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдётся (мы найдём, укажем) такое число , вообще говоря зависящее от , , что как только выполняется , будет . В нашей задаче , , . Наша задача: найти такое , чтобы из неравенства следовало неравенство
Т.к
то мы выбираем для любого число и, следуя по цепочке наших неравенств в обратном направлении, получаем решение поставленной задачи по определению.
Ответ: при любого следует взять .
Задача №5. Вычислить предел функции
Решение:
Задача №6. Вычислить предел функции.
Решение:
Задача №7. Вычислить предел функции.
Решение:
Использованы формулы - следствия из первого и второго замечательного предела: ;
Задача №8. Вычислить предел функции
Решение:
Использована формула - следствие из первого замечательного предела
Задача №9. Найти производную функции
Решение: Применим формулу производной дроби
Ответ:
Задача №10. Найти производную функции
Решение: Применим формулу производной дроби
Задача №11. Найти производную функции
Решение: Применим формулу производной сложной функции
Теперь найдём у/
Ответ:
Задача №12. Найти производную функции
Решение: Сначалапреобразуем второе слагаемое в данной функции
Ответ:
Задача №13. Найти производную функции
Решение:
Ответ:
Задача №14. Найти производную функции
Решение:
Ответ:
Задача №15. Найти дифференциал dy, если
Решение:
Ответ:
Задача №16. Вычислить приближённо с помощью дифференциала
, х=1,58
Решение: Воспользуемся формулой:
У нас х=1,5; х+ ; , ; ;
. И так,
Ответ:
Задача №17. Написать уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке х0
Решение: Найдем и воспользуемся формулами уравнений искомых прямых: касательной и нормали ; . Уравнение касательной: или . Уравнение нормали: или
Ответ:
Задача №18. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точки .
Решение: Воспользуемся уравнениемкасательной и нормали к кривой в точке х0.
У нас ; ; . Таким образом, уравнение касательной будет иметь вид: или . Уравнение нормали будет таким: или .
Ответ:
Задача №19. Найти уIV функции
Решение: Найдём последовательно упростив функцию
Ответ: .
Задача №20. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрический
Решение: вычислим , затем найдём по правилу:
Задача №21. Исследовать функцию и построить её график.
Решение:
1. Область существования вся числовая ось кроме т. .
2. Функция терпит разрыв в т. . Исследуем точку разрыва.
Т. – точка разрыва 2- го рода.
3. При
В в
4. Так как , , , то - функция общего вида.
5. Определим участки возрастания, убывания, экстремумы.
Найдем критические точки:
а)
б) не существует в т. 1
Следовательно, критические точки .
Найдем участки возрастания и убывания .
Знак совпадает со знаком , т.е. необходимо решить неравенство . Корни квадратного уравнения 0 и 2, а коэффициент у положительный. Следовательно,
Имеем
а) в - в убывает;
б) в и - в и возрастает;
в) при переходе через меняет знак с + меняет знак -, при переходен через - с - на +, при переходе через - знак не меняет.
Следовательно, в т. знак не менее.
Следовательно в т. , в т.
В т. экстремума нет.
6. Найдем участки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Знак совпадает со знаком (х-1). Следовательно,
а) в . В - выпукла;
б) в . В - вогнута;
в) В т. Х=1 не существует. При переходе через х=1 меняет знак с – на +. Следовательно точка перегиба.
7. Найдем асимптоты.
А) Вертикальная асимптота – .
Б) наклонная асимптота
,
Следовательно - асимптота при и при .
Рисунок 7
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 116 | Нарушение авторских прав