Тогда последовательность является минимизирующей для функционала J .

Доказательство. Область M допустимых процессов расширяется с помощью таких процессов , которые удовлетворяют условию при , но не обязательно удовлетворяют уравнению процесса. Эти процессы составляют множество D, и M является его подмножеством.

Введем определенный на множестве D (следовательно, и на множестве M) функционал с помощью соотношения (4.12). О функционале известно (см. лемма 4.1), что на множестве M его значение совпадает со значением функционала J (соотношение (4.13)).

Обозначим аналогично тому, как было сделано в формуле (4.18)

Так как M есть подмножество , то:

,

откуда

. (4.32)

С другой стороны, из условия 1 настоящей теоремы для первого слагаемого в правой части соотношения (4.12) получаем

Следовательно, взятое с обратным знаком, это слагаемое стремиться к

Из условия 2 сразу получаем, что второе слагаемое в правой части функционала (4.12) также стремиться к своей нижней грани.

Последнее слагаемое в правой части формулы (4.12) – постоянная величина, не влияющая на предельный предельный переход, поэтому можно сделать вывод, что при

(4.33)

Сравнивая последнее соотношение (4.32) с (4.33) и пользуясь определением точной нижней грани (inf) функционала, можно написать , т.е. последовательность является минимизирующей для функционала J на множестве M, что и утверждается в теореме.

Эта теорема остается справедливой, если несколько видоизменить ее условия.

Как отмечалось выше, иногда бывает удобно в условиях теоремы предполагать, что верхняя грань функции R (t, x, u) рассматривается при данном значении t только на множестве , являющимся подмножеством множества . При таком изменении формулировка теоремы остается справедливой.

Условие 1 теоремы 4.4 может быть ослаблено, если сформулировать ее в виде

Если же при существует max R(t, x, u) при , то утверждение теоремы остается верным при замене условия 1 также более слабым условием

. (4.34)

Использованное в формулировке теоремы 4.4 условие 1 является достаточным для выполнения соотношения (4.34), так как равномерная сходимость подынтегральных функций обеспечивает и сходимость интеграла, однако диапазон применимости этого условия шире, чем условие 1 теоремы 4.4. Например, условие (4.34) можно применять для таких процессов, где управление u(t) или состояние x(t) не являются ограниченными на отрезке . В этом случае даже если верхняя грань функции R и не существует при , то для применения соотношения (4.34) требуется лишь существование и конечность интегралов в этом соотношении.

Перейдем теперь к обобщенной теореме о достаточных условиях оптимальности для многошаговых процессов в дискретных системах.

Постановка задачи оптимального управления определяется функционалом (4.24), который требуется минимизировать на множестве M допустимых процессов, задаваемом ограничениям (4.21) – (4.23).

Так как доказательство теоремы для дискретных процессов может быть проведено аналогично доказательству теоремы для непрерывного процесса, ограничимся ее формулировкой.

Теорема 4.5 (обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности для многошаговых процессов). Пусть имеется последовательность при Предположим, существует функция , которая при удовлетворяет условиям:

1. для

2.

Дата добавления: 2015-11-26