Достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов

Для задач ТОУ в дискретных системах, так же как рассмотренных в разделе 4.2 непрерывных, может быть сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях оптимальности. Используемые при этом математические конструкции аналогичны введенным выше и являются их качественным аналогом для многошаговых процессов.

Задача оптимального управления дискретной системы формулируется следующим образом. Пусть управляемый процесс описывается системой разностных уравнений

(4.21)

с начальным условием

. (4.22)

На возможные значения состояния системы и управления наложены ограничения

. (4.23)

Соотношения (4.22), (4.23) можно рассматривать как ограничения, определяющие множество M допустимых процессов в данной системе.

Требуется найти такой процесс , который минимизирует функционал

. (4.24)

Так же как и при рассмотрении непрерывных систем, для формулировки теоремы о достаточных условиях оптимальности вводятся две функции: и . Для их построения, как и выше, введем функцию переменных , или в векторном виде . В отличие от непрерывных систем здесь от функции , вообще говоря, не требуется наличия каких-либо аналитических свойств типа непрерывности или дифференцируемости.

Функцию определим в дискретном случае следующим образом:

, (4.25)

а функцию , как и раньше, зададим в виде

. (4.26)

Если считать аналогом производной в дискретном случае для функции выражение , то первые два слагаемых в (4.25) могут рассматриваться как «производная» функции , если является решением системы (4.21), т.е. траекторией рассматриваемого процесса.

Если это так, то в выражении после подстановки можно, учитывая уравнение процесса (4.21), заменить на . В результате получим, что на траектории первые два слагаемых в (4.25) будут равны

. (4.27)

Для дискретного процесса имеет место теорема о достаточных условиях оптимальности, формулировка которой почти дословно совпадает с формулировкой теоремы (4.2) для непрерывных систем.

Теорема 4.3. (достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов). Пусть допустимый процесс и некоторая функция удовлетворяют условиям:

.

.

Дата добавления: 2015-11-26