Лабораторная работа № 1.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«тюменский государственный нефтегазовый университет»

Институт Геологии и нефтегазодобычи

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: статистический анализ

ВАРИАНТ - 39

Выполнил: ст. гр. ЭДНбзс-12-2 Исаев.А.В.

Проверил: Вершинина С.В.

Тюмень 2014г.

Лабораторная работа № 1.

Тема работы: Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик.

Цель работы: овладение способами построения рядов распределения иметодами расчета числовых характеристик.

Дано: В таблице 1 представлены значения обследуемого признака Х - себестоимости 1 детали (в руб.).

Таблица 1- значения обследуемого признака Х - себестоимости 1 детали.

Содержание работы: на основе совокупности данных опыта выполнить следующее:

1. Построить ряды распределения (интервальный и дискретный вариационные ряды). Изобразить их графики.

2. Построить график накопительных частот - кумуляту.

3. Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

4. Вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию (A_s), эксцесс (E_s).

5. Построить доверительные интервалы для истинного значения измеряемой величины и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

Выполнение работы:

1. Строим ряды распределения (интервальный и дискретный вариационные ряды). Изображаем их графики.

1.1. По данным выборки строим интервальный вариационный ряд.

1.1.1. Определяем x_max, x_min. и размах варьирования (R) признака «х».

x_max=97; x_min=71

R= x_max - x_min=97-71=26

1.1.2. Определяем число интервалов вариационного ряда (k). Примем k=13.

1.1.3. Определяем длину каждого частичного интервала (h).

1.1.4. Подсчитываем число вариант, попадающих в каждый интервал, по данным выборки. Сформированный интервальный вариационный ряд записываем в виде таблицы 2.

Таблица 2 - число вариант, попадающих в каждый интервал, по данным выборки.

Варианты-интервалы	71-73	73-75	75-77	77-79	79-81	81-83	83-85	85-87	87-89	89-91	91-93	93-95	95-97
Частоты (ni)

1.1.5. Производим контроль полученных данных где n - объем выборки.

1.2. Записываем дискретный вариационный ряд (Таблица 3). В качестве вариант x_i берем середины интервалов интервального вариационного ряда.

Таблица 3 - дискретный вариационный ряд.

Варианты,(xi)

Частоты, (ni)

1.3. Изображаем интервальный и дискретный вариационные ряды графически, построив гистограмму и полигон частот в одной системе координат (Рисунок 1).

ni

Рисунок 1 - Гистограмма и полигон частот.

2. Строим график накопленных частот - кумуляту (Рисунок 2).

2.1. Определяем относительные частоты (ω_i) и накопительные относительные частоты,(W_i) по формулам:

ω_i = n_i /n

W_i = W_{i – 1} + ω_i

2.2.Составляем таблицу для построения кумуляты (Таблица 4).

Таблица 4 - относительные и накопительные относительные частоты.

xi
ωi	0,02	0,07	0,08	0,08	0,10	0,09	0,16	0,08	0,08	0,08	0,06	0,04	0,05
Wi	0,02	0,08	0,17	0,25	0,35	0,45	0,61	0,69	0,78	0,85	0,92	0,95	1,00

Wi

xi

Рисунок 2 - Кумулятивная кривая.

3. Находим эмпирическую функцию распределения (Рисунок 3) по формуле:

F_в(x)

Если х £ 72, то F_в(x) = 0 - по свойству эмпирической функции распределения.

Если 72 < х £ 74, то F_в (x) = n_x/n = 2/130 = 0,015;

Если 74 < х £ 76, то F_в (x) = n_x/n = (2+9)/130 = 0,08;

Если 76< х £ 78, то F_в (x) = n_x/n = (11+11)/130 = 0,17;

Если 78< х £80, то F_в (x) = n_x/n = (22+11)/130 = 0,25;

Если 80< х £ 82, то F_в (x) = n_x/n = (33+13)/130 = 0,35;

Если 82< х £84, то F_в (x) = n_x/n = (46+12)/130 = 0,45;

Если 84 < х £ 86, то F_в (x) = n_x/n = (58+21)/130 = 0,61;

Если 86< х £ 88, то F_в (x) = n_x/n = (79+11)/130 = 0,69;

Если 88 < х £ 90, то F_в (x) = n_x/n = (90+11)/130 = 0,78;

Если 90 < х £ 92, то F_в (x) = n_x/n = (111+10)/130 = 0,85;

Если 92 < х £ 94, то F_в (x) = n_x/n = (119+8)/130 = 0,92;

Если 94 < х £ 96, то F_в (x) = n_x/n = (124+5)/130 = 0,95.

Если x > 96, то F_в(x) = 1 - по свойству эмпирической функции распределения.

Полученную эмпирическую функцию представим в виде:

0, х ϵ (-∞;72],

0,015, х ϵ (72;74],

0,08, х ϵ (74;76],

0,17, х ϵ (76;78],

0,25, х ϵ (78;80],

0,35, х ϵ (80,82],

Fв (x) =

0,45, х ϵ (82;84],

0,61, х ϵ (84;86],

0,69, х ϵ (86:88],

0,78, х ϵ (88;90],

0,85, х ϵ (90;92],

0,92, х ϵ (92;94],

0,95, х ϵ (94,96],

1, х ϵ (96; +∞).

xi

Wi

Рисунок 3 - Кривая и эмпирическая функция распределения.

Соединив середины вертикальных частей ступенчатой кусочно-постоянной кривой, являющейся графиком функции Fв(x), получаем плавную кривую (см. рисунок 3). Абсциссами точек этой кривой служат значения себестоимости одной детали, а ординатами - значения эмпирической функции распределения, характеризующей оценку вероятности события X ≤ x_i, т.е. вероятности попадания возможных значений себестоимости одной детали на промежуток «(-∞;x_i]».

4. Для нахождения числовых характеристик признака Х - себестоимости 1 детали воспользуемся таблицей 3.

4.1. Так как варианта х = 84 в таблице 3 встречается с наибольшей частотой n₇=21, то мода M_oX=84, т.е. это значение себестоимости одной детали, встречается в данной выборке с наибольшей частотой.

4.2. Находим медиану Х (MеX). Т.К. таблица 3 содержит нечетное число столбцов, то MеX=84. Это значение себестоимости одной детали, которое делит данные выборки признака Х на равные части.

4.3. Для нахождения остальных статистик, характеризующих себестоимость одной детали, воспользуемся методом произведений.

4.3.1. Введем условные варианты (u_i) по формуле:

где С= MoX=84.

4.3.4. Составим расчетную таблицу 5.

Таблица 5 - расчет статистик, характеризующих себестоимость одной детали.

xi	ni	ui	niui	niui ^2	niui^3	niui^4	ni(ui+1)^2
		-6	-12		-432
		-5	-45		-1125
		-4	-44		-704
		-3	-33		-297
		-2	-26		-104
		-1	-12		-12
			-16

4.3.5. Контроль вычислений проводим по формуле:

130 + 2(-16) + 1250 = 1348

Следовательно, вычисления проведены верно.

4.4. Пользуясь результатами последней строки таблицы 5, находим условные начальные моменты (М_1,2,3,4^*).

4.5. Находим выборочную среднюю (x̄) которая характеризует среднее значение себестоимости 1 детали по формуле:

x̄ = -0,123 * 2 + 84 = 83,8 руб.

4.6. Находим выборочную дисперсию (S²) по формуле:

S² = (9,615 + 0,123)*2² = 38,95

4.7. Находим выборочное среднее квадратическое отклонение (S) по формуле:

Величина «S» характеризует степень рассеяния значений себестоимости одной детали относительно средней себестоимости.

4.8. Вычисляем коэффициент вариации (V).

Величина коэффициента вариации мала (составляет 8,5%), что означает тесную сгруппированность значений себестоимости 1 детали около центра рассеяния, т.е. около средней себестоимости 1 детали.

4.9. Находим центральные моменты третьего (m₃) и четвертого (m₄) порядков по формулам:

4.10. Находим асимметрию и эксцесс по формулам:

5. Произведем оценку генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения s = S по выборочным статистикам и , используя теорию доверительных интервалов для нормального распределения.

5.1. Доверительный интервал для истинного значения себестоимости 1 детали с надежностью находим, согласно:

5.2. Согласно приложению 3 учебного пособия «Статистические методы решения инженерных задач» под редакцией В. И. Губина, В. Н. Осташкова, при n=130 и находим . Записываем доверительный интервал:

Таким образом, среднее значение себестоимости 1 детали (в руб) по данным выборки должна находиться в промежутке (83;85).

5.3. Запишем доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения . При заданных и n=130 по таблице приложения 4 учебного пособия «Статистические методы решения инженерных задач» под редакцией В. И. Губина, В. Н. Осташкова, находим q=0,115. Так как , то доверительный интервал записываем в виде:

Следовательно, отклонения истинных значений себестоимости 1 детали не должны выходить за пределы промежутка (6,3;7,9).

Дата добавления: 2015-11-26