Зображення експериментальних значень

на графіках та проведення кривих через експериментальні точки.

a).Експериментальні точки у системі координат.

Графіки, звичайно, будують на міліметровому папері або папір спеціально для цього розграфлюють (наносять сітку). Виставляючи осі координат, розраховують масштаб, вказують, які фізичні величини їм відповідають та визначають і проставляють ціну поділок. Масштаб повинен відповідати 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10 і т.п. одиницям вимірюваної величини. Початок відліку по осях координат повинен бути таким, щоб точки розмістились на всій координатній площині.

Точки, одержані в різних умовах, наприклад, при нагріванні і при охолодженні зразка потрібно позначати різними символами.

Якщо відомі випадкові похибки (границі довірчих інтервалів) D виміряних величин по осях, то точку зображують у вигляді хреста, причому піврозмір хреста повинен у відповідному масштабі дорівнювати величині цієї похибки D. Після нанесення експериментальних точок на координатну площину приступають до побудови графіка.

б).Проведення кривих через експериментальні точки.

Математичне правило проведення кривих через експериментальні точки полягає в наступному. Якщо тип кривої (пряма, коло, парабола та ін.) з тих чи інших міркувань (наприклад, теоретичних) вибрано, то параметри кривої повинні бути вибрані так, щоб сума квадратів відхилень від неї всіх експериментальних точок була найменшою (основа методу "найменших квадратів", який буде розглянуто нижче). Використання цього правила на практиці пов'язане з певними труднощами, але при певному досвіді, графічно проведені криві самі собою виявляються оптимальними.

Необхідно пам'ятати, що при проведенні кривих на "око" оптимальною є пряма лінія. Тому наявну залежність між виміряними величинами слід перетворити в лінійну, тобто провести лінеаризацію залежності. Наприклад, залежність опору напівпровідника від температури є експоненціальною: . Утворити з цієї залежності лінійну можна у такий спосіб. Якщо позначимо y=lnR, , то маємо у=а + b x, де а=lnA, . Тепер можна побудувати графік лінійної залежності.

Наведений приклад є логарифмічною ліанеризацією залежностей величин. Існують і інші методи. Наприклад, лінеаризацію квадратичної залежності довжини математичного маятника L та періоду коливань математичного маятника Т в лабораторній роботі № 40 можна провести у такий спосіб Y=4p²L, X=T², b=g, де g - прискорення тяжіння Землі.

В інших випадках через точки завжди проводять найпростішу криву так, щоб експериментальні дані відступали від неї (в 2/3 випадків) не більше ніж на величину границі довірчого інтервалу. Якщо залежність є лінійною, то на графіку можна визначити похибки параметрів прямої а, b.

Щоб знайти похибку у визначенні параметру а потрібно перемістити пряму паралельно самій собі вниз поки вище від неї не виявиться вдвоє більше точок ніж знизу, а потім змістити її догори, доки знизу не виявиться вдвоє більше точок ніж зверху. Відстань Dу між цими положеннями прямої вздовж осі ОУ визначає похибку Dа:

,

де n- повне число точок на графіку.

Для визначення похибки Db параметру b робочу ділянку осі ОХ (де розташовані експериментальні точки) ділимо на три рівні частини. Середня частина з роботи виключається. Для визначення Db пряма повертається так, щоб на лівій ділянці вище неї стало вдвоє більше точок ніж під нею, а на лівій ділянці - навпаки. За цим пряма повертається так, щоб на лівій ділянці 2/3 точок лежали нижче прямої, а на правій - вище неї. У цих двох випадках визначаємо відповідні кутові величини b₁, b₂ та їх різницю D=b₁- b₂. Тепер .

2. Статистична обробка масиву результатів N прямих вимірювань.

1.За істинне значення фізичної величини X приймається середньоарифметичне значення N вимірювань

(2)

2. Визначається дисперсія величини Х:

(3)

3. Визначається середньоквадратичне відхилення результатів вимірювання від середнього значення :

(4)

4. Визначається границя довірчого інтервалу X без врахування систематичної похибки q (точніcть приладу, яким вимірюється Х)

, (5)

де Z_N,Р - табличний коефіцієнт Сть'юдента, для числа вимірювання N та ймовірності P.

5. Визначається границя довірчого інтервалу X при заданій систематичній похибці q_Х (точність приладу, яким вимірюється Х):

Коефіцієнт Ст'юдента визначається з Tаблиці 1 за заданими значеннями N та P:

Таблиця І.Коефіцієнт Ст'юдента для ймовірності

Р = 0.9; 0.95; 0.99

N
ZN,0.9	2.92	2.35	2.13	2.02	1.94	1.90	1.86	1.83	1.81	1.80
ZN,0.95	4.3	3.18	2.78	2.57	2.45	2.36	2.31	2.26	2.23	2.2
ZN,0.99	9.93	5.84	4.06	4.03	7.71	3.50	3.36	3.25	3.17	3.11

Остаточно результат прямого вимірювання записується у вигляді

Х= ± DХ, P=0,95.

3. Обробка результатів експерименту при посередніх вимірюваннях.

Нехай шукана фізична величина А визначається функціональною залежністю від k параметрів Х_і

А = f(X₁,X₂,...,X_k). (7)

Спрощена методика статистичної обробки експерименту при визначенні фізичної величини А, що є функцією k величин Х_і, які допускають прямі вимірювання й обробляються за методикою п.ІІ, для однакового значення ймовірності Р, полягає у наступному.

1. За істинне значення величини А приймається "середньоарифметичне"

(8)

2. Границя довірчого інтервалу визначається так:

(9)

У цьому виразі ¾ частинна похідна, обчислена для середніх значень параметрів , помножена на границю Dх_і довірчого інтервалу величини X_і. Остаточно результат вимірювання записується, як і для прямих вимірювань, у вигляді

A= ± DA, P=0,95. (10)

Метод найменших квадратів

Нехай ми маємо масив N виміряних у досліді значень величин X,Y. Покладемо, що зв'язок X та Y описується у теорії лінійною залежністю

Y=f(X,а,b), (11)

де а та b параметри зв'язку.

Метод найменших квадратів виходить із того, що знайдені середні значення параметрів у (11) повинні забезпечити мінімум відхилення теоретичного значення Y(Xі) від експериментального значення Yі по всіх N точках X_і одночасно, тобто функціонал

. (12)

повинен мати мінімум по параметрах а та b.

Це означає, що величини можна визначити із системи рівнянь

. (13)

Вираз (13) у явному вигляді представляє систему двох рівнянь для визначення двох невідомих . Якщо б залежність (10) містила не два, а К параметрів, то у виразі (13) ми мали б відповідно систему К рівнянь для визначення К невідомих.

Нехай залежність (10) задається лінійною функцією Y=a+bX. Диференціювання Q по а та b дає

. (14)

Якщо в (14) розкрити дужки, то одержимо

. (15).

Якщо в (15) ліві частини поділити на число вимірювань N і ввести середні значення, то одержимо два лінійних рівняння для :

(16).

, , .

Розв'язок цих рівнянь дає:

, (17).

де

(18)

- коефіцієнт кореляції,

(19)

- дисперсії величин X та Y, а середні значення квадратів величин Х та Y визначаються так

, (20)

За величиною çr ç£1. Якщо r>0, то Y зростаюча, а при r<0 - спадна функція X. Можна показати, що у (11) величина і при r=1 маємо Q=0, тобто експериментальні значення Yі співпадають із теорією. На практиці для встановлення лінійної залежності між відповідними величинами необхідно, щоб значення коефіцієнта r було більше 0.98.

Границі довірчого інтервалу представляються у вигляді

. (21)

Остаточно результат вимірювання запишеться у вигляді

. (22)

Розрахунки у середовищі додатку Mіcrosoft Excel

Обробка результатів вимірювання у лабораторному практикумі полягає у знаходженні середніх значень, середньоквадратичних відхилень, границь довірчого інтервалу та інше. Досить зручно такі обчислення провести в додатку Mіcrosoft Excel, тобто застосувань електронних таблиць.

Такі обчислення передбачають, що результати вимірювання заносяться у певні комірки електронної таблиці. В інших комірках записуються відповідні функції обчислення, або такі викликаються з масиву стандартних функцій Mіcrosoft Excel. При натисненні на кнопку меню f_x відкривається меню різноманітних функцій. Спочатку шукають функцію у списку 10-ти останніх, що використовувалися. Якщо така функція відсутня у переліку звертаються до статистичних функцій і у переліку функцій знаходять потрібну та викликають її для запису чисел із масиву чи масивів. Наприклад, коли викличемо функцію

СТАНДОТКЛОНП(), то відкриється меню для введення чисел масиву, яке показано на Мал. 1

Масив уводиться шляхом виділення “мишкою” комірок, у яких записано числа масиву. На Мал. 2 масив введено з комірок F1¾F5. Це числа 1,2,3,4,5. Значення середньоквадратичного відхилення становить 1.414213562, як це видно з Мал. 2. Мал. 2

Після натиснення кнопки ОК у виділеній комірці, де записана функція, буде відображене число 1,414213562.

Аналогічно проводяться обчислення і для інших функцій. Крім цього, можна скористатися допомогою програми Неlp, яка відкривається натисненням на кнопку меню?.

Нижче наведені стандартні функції для статистичної обробки результатів вимірювання та застосування методу найменших квадратів.

1.Функція обчислення середнього значення масиву чисел Х={масив Х}={x₁; x₂; …;x_n}

Синтаксис

Дата добавления: 2015-11-26