Читайте также: |
|
При оценке параметров уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов - это особая форма случайной величины, свойства которой зависят от свойств остаточного члена в уравнении.
См. вопрос №11
13. Свойства оценок параметров, полученных методом наименьших квадратов. Условия Гаусса – Маркова.
Условия Гаусса – Маркова:
1-е условие Гаусса—Маркова: M(ei) = 0 для всех наблюдений
Первое условие состоит в том, что математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю. Иногда случайный член будет положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения ни в одном из двух возможных направлений.
Фактически если уравнение регрессии включает постоянный член, то обычно бывает разумно предположить, что это условие выполняется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции в у, которую не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии.
2-е условие Гаусса—Маркова: M(ei2) постоянна для всех наблюдений
Второе условие состоит в том, что дисперсия случайного члена должна быть постоянна для всех наблюдений. Иногда случайный член будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы он порождал большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других.
Эта постоянная дисперсия обычно обозначается σ2, а условие записывается следующим образом:
M(ei2)=σ2
Величина σ2 конечно, неизвестна. Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайного члена.
Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициенты регрессии, найденные по обычному методу наименьших квадратов, будут неэффективны, и можно получить более надежные результаты путем применения модифицированного метода регрессии.
3-е условие Гаусса—Маркова: Cov (ei,ej) = 0 (i≠j)
Это условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях. Например, если случайный член велик и положителен в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в следующем наблюдении (или большим и отрицательным, или малым и положительным, или малым и отрицательным). Случайные члены должны быть абсолютно независимы друг от друга.
В силу того, что Е (ei) = Е(ej) = 0, данное условие можно записать следующим образом:
M(eiej) = 0 (i≠j).
Если это условие не будет выполнено, то регрессия, оцененная по обычному методу наименьших квадратов, вновь даст неэффективные результаты. В следующих лекциях рассматриваются возникающие здесь проблемы и пути их преодоления.
4-е условие Гаусса—Маркова: случайный член должен быть распределен независимо от объясняющих переменных
В большинстве глав книги мы будем в сущности использовать более сильное предположение о том, что объясняющие переменные не являются стохастическими, т. е. не имеют случайной составляющей. Значение любой независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться экзогенным, полностью определяемым внешними причинами, не учитываемыми в уравнении регрессии.
Если это условие выполнено, то теоретическая ковариация между независимой переменной и случайным членом равна нулю. Так как Е(e) = 0, то
Cov(xi,ei) = M{(хi – )(ei)} = M(xiei)- M(et) = M(xiui). Следовательно, данное условие можно записать также в виде:
M(xiei) = 0
Подробнее:
1. регрессия модель линейна по параметрам (коэффициентам), корректно специфицирована, и содержит аддитивный случайный член.
2. случайный член имеет нулевое среднее.
3. все объясняющие переменные не коррелированны мо случайным членом.
4. наблюдаемые значения случайного члена не коррелированные друг с другом.
5. Случайный член имеет постоянную дисперсию
6. Ни одна из объясняющих переменных не является строгой линейной функцией других объясняющих переменных.
7. Случайный член распределен нормально (необязательное, но часто используемое условие)
8.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 119 | Нарушение авторских прав