Поверхневі хвилі в плазмі

Досі йшлося про хвилі в необмеженій плазмі. Але в реальних ситуаціях лабораторна плазма завжди обмежена. В цьому випадку на межі плазма – вакуум з’являється ще один специфічний тип хвиль, а саме поверхневі хвилі, амплітуда яких експоненціально спадає при віддаленні від згаданої межі. Саме таким хвилям відповідає область малих хвильових чисел на графіку, отриманому в експериментах Баретта, Джонса і Франкліна (рис. 5.4 в).

Розглянемо геометрично найпростішу систему, в якій можливі поверхневі хвилі – дві розділені плоскою межею області, зайняті відповідно однорідною плазмою (x>0) та вакуумом (x<0) – див. рис. 7.1 а. Хвилю вважатимемо гармонічною в часі з частотою w. Нехай вона поширюється вздовж осі z із хвильовим числом k. Тоді поле хвилі залежатиме тільки від координат х та z. Як відомо з курсу електродинаміки, система рівнянь Максвелла в цьому випадку розбивається на ізольовані підсистеми рівнянь для р-поляризованих хвиль (з компонентами E_x, E_z, H_y) та s-поляризованих хвиль (з компонентами E_y, H_x, H_z). Хвилі, що нас цікавлять, належать до першого типу. Тоді електричне поле цих хвиль можна подати у вигляді

а	б
в	Рис.7.1. Поверхневі хвилі на межі вакуум - плазма: а – геометрія моделі; б – дисперсійна крива; в – картина електричного поля.

, ; (7.1)

, , .

Щоб знайти невідомі параметри k_1,2, що визначають швидкості спадання поля при віддаленні від межі відповідно в плазмі та у вакуумі, слід врахувати, що в кожному з цих середовищ поле повинно задовольняти хвильовому рівнянню, яке випливає з рівнянь Максвелла і з урахуванням гармонічності поля в часі може бути записане у вигляді

, (7.2)

де, як і раніше, k₀=w/c, e₁=1, e₂ – діелектрична проникність плазми (індекс 2 надалі опускаємо). Підставивши гадані розв’язки (7.1) до (7.2), легко отримати співвідношення

, . (7.3)

Зв’язок між компонентами електричного поля в кожному із середовищ можна знайти з теореми Гаусса, яка з урахуванням однорідності плазми та вакууму набуває вигляду

. (7.4)

Підставивши (7.1) до (7.4), отримуємо:

. (7.5)

Нарешті, гадані розв’язки (7.1) у плазмі та вакуумі необхідно зшити за допомогою граничних умов, які в даній геометрії зводяться до співвідношень

, . (7.6)

З першої з умов (7.6) випливає, що E_mz1=E_mz2. З урахуванням цього та співвідношення (7.5) друга умова дає рівняння

, (7.7)

яке з урахуванням (7.3) дає закон дисперсії досліджуваних хвиль, тобто зв’язок між w та k. Відзначимо тут, що, оскільки параметри k_1,2 мають бути додатними, з (7.7) випливає, що для досліджуваних хвиль e<0.

Піднісши (7.7) до квадрату і врахувавши (7.3) та явний вигляд e (5.13), отримаємо дисперсійне рівняння у формі

(7.8)

або

. (7.8 а)

Графік залежності (7.8 а) поданий на рис. 7.1 б, картина поля, що відповідає розв’язку (7.1), та відповідний розподіл поверхневих зарядів – на рис. 7.1 в.

У реальних ситуаціях межа плазма-вакуум завжди є розмитою. Оскільки на частоті поверхневої хвилі в глибині плазми, як уже відзначалося, e<0, то на профілі концентрації плазми знайдеться точка, в якій плазмова частота збігається з частотою хвилі – так звана точка локального плазмового резонансу. В околі цієї точки електричне поле, з одного боку, зростає, а з іншого – сильно згасає на зіткненнях електронів із важкими частинками (детальніше про це див. нижче, пп. 7.2.5, 7.4.1-7.4.2). В результаті поверхнева хвиля зазнаватиме помітного згасання вздовж напрямку свого поширення.

Контрольні питання до підрозділу 7.1

1. За яких умов співвідношення (7.8) буде справедливим для хвиль на поверхні плазмового циліндра?

Задачі до підрозділу 7.1

1. Отримайте дисперсійне співвідношення для поверхневої хвилі на різкій межі двох областей, заповнених однорідною плазмою з відмінними концентраціями.

Дата добавления: 2015-12-08