Швидка” нелінійність плазми та її наслідки

Розділ 6

НЕЛІНІЙНІ ЯВИЩА ПРИ ПОШИРЕННІ ХВИЛЬ У ПЛАЗМІ

Плазма є надзвичайно “м’яким” середовищем у тому сенсі, що в ній уже при малих амплітудах полів виявляються нелінійні ефекти. Будемо вести мову про нелінійні явища, що супроводжують збудження коливань та поширення хвиль у плазмі.

Нелінійні ефекти такого роду можна розділити на дві великі групи. До першої з них можна віднести так звану “швидку” нелінійність, яка виявляється на часових масштабах порядку періоду досліджуваних хвиль та приводить до таких ефектів, як помноження частоти, укручування фронту хвилі, формування солітонів та інші. У деяких випадках «швидка» нелінійність може також спричинити параметричну взаємодію високочастотних хвиль – наприклад, розпад електромагнітної хвилі на дві “косі” (тобто спрямовані під кутом до напрямку хвилі накачування) ленгмюрівські хвилі.

"Швидка" нелінійність породжується нелінійним характером руху окремих частинок плазми.

Друга група ефектів пов’язана з так званою “повільною” нелінійністю,коли властивості середовища помітно змінюються за час, що значно перевищує період хвилі. Прикладом “повільної” нелінійності в радіоелектроніці може служити зміна опору провідника за рахунок його нагрівання при протіканні змінного струму.

«Повільна» нелінійність спричиняє такі ефекти, як «просвітлення» плазмових хвильових бар’єрів, самофокусування хвильових пучків, модуляційна нестійкість та інші.

У деяких випадках, коли взаємодіють хвилі з різко відмінними частотами, нелінійність, що є «швидкою» для однієї хвилі, буде «повільною» для іншої (приклад – параметрична взаємодія ленгмюрівських та іонно-звукових хвиль, див. нижче п. 6.4.1).

Швидка” нелінійність плазми та її наслідки

Розглянемо спочатку “швидку” нелінійність та деякі породжувані нею явища.

6.1.1. Причини, що породжують “швидку” нелінійність

Рівняння, що описують рух заряджених частинок плазми, мають ряд нелінійних доданків.

По-перше, рівняння руху для заряджених частинок є нелінійними, оскільки з урахуванням їхнього руху повна похідна за часом набуває вигляду:

.

По-друге, густина струму j =en v, яка входить до рівнянь Максвелла та до рівняння неперервності, також породжує нелінійність, бо є добутком двох змінних – швидкості та концентрації заряджених частинок.

Обидві названі нелінійності є, по суті, квадратичними.

6.1.2. Укручення фронту та формування солітонів

Для аналізу нелінійних іонно-звукових хвиль можна скористатися системою рівнянь (5.27)-(5.30), якою (в лінеаризованому вигляді) ми користувалися для дослідження іонно-звукових хвиль малої амплітуди:

;

;

(останнє співвідношення отримане в результаті підстановки (5.30) до (5.29)).

Для слабконелінійного випадку з цієї системи можна отримати відоме в теорії нелінійних хвиль рівняння Кортевега-де-Вріза[1] (КдВ):

, (6.1)

де – поздовжня (щодо хвильового вектора) швидкість плазми, c_s – швидкість іонного звуку.

Для достатньо довгих хвиль, коли дисперсійним доданком ¶³u/¶z³, пропорційним l^-3, можна знехтувати, спрощене рівняння

(6.1 а)

описує укручування, а потім і перекидання фронту хвилі в процесі її поширення (в системі координат, пов’язаній із хвилею, див. рис. 6.1).

Врахування дисперсійного доданку ¶³u/¶z³ приводить до того, що дисперсійне розпливання фронту може компенсувати його нелінійне укручування. В результаті встановлення рівноваги між цими процесами може сформуватися стаціонарна одиночна хвиля. Це може бути, зокрема, одиночна хвиля – солітон(рис. 6.1 б) або послідовність таких солітонів – так звана кноїдальна хвиля. Амплітуда окремого солітона КдВ пропорційна його швидкості, а ширина обернено пропорційна до кореню з амплітуди.

Рис. 6.1. Зміна форми первісно гармонічної хвилі в середовищі, описуваному рівнянням Кортевега – де Вріза: а – послідовна зміна форми первісно гармонічної хвилі; б – солітон.

Розглянемо тепер питання про стаціонарні іонно-звукові хвилі довільної амплітуди. Для цього обмежимось розглядом хвиль, що поширюються в напрямку , і перетворимо систему (5.27)-(5.30) за допомогою автомодельної підстановки , де – швидкість стаціонарної хвилі. Ця підстановка означає, що ми обмежуємося розглядом хвиль, що поширюються зі сталою швидкістю, а їхня форма її залишається незмінною.

Врахувавши співвідношення

, , ,

отримаємо:

; ;

. (6.2)

Після інтегрування перші два рівняння набувають вигляду

; , (6.2 а)

де – сталі інтегрування, величина яких залежить від вибору системи відліку. Вважаючи, що , , знайдемо величину як функцію :

. (6.3)

Підставивши (6.3) до останнього рівняння системи (6.2), отримуємо:

. (6.4)

Рівняння (6.4) можна інтерпретувати як рівняння коливань осцилятора під дією нелінійної сили

,

якій відповідає «потенціал»

(6.5)

(в ролі координати тут виступає , в ролі часу – ).

Хід «потенціалу» при деякому фіксованому значенні поданий на рис. 6.2 а, побудований на його основі аналог фазового портрету – на рис. 6.2 б. Рух уздовж петлі сепаратриси відповідає солітону, рух уздовж траєкторій, що примикають до петлі сепаратриси зсередини – кноїдальним хвилям.

а	б
Рис.6.2: Розподіл «потенціалу» (а) та «фазовий портрет» (б) для нелінійних іонно-звукових хвиль при (рухові вздовж сепаратриси відповідає солітон).

6.1.3. Ударні хвилі в плазмі

Ще одним фактором, який може обмежувати укручення фронту нелінійної хвилі, виступає дисипація. В найпростішому випадку поведінка такої нелінійної хвилі в деякій рухомій системі координат описується рівнянням Бюргерса

. (6.2)

Стаціонарний розв’язок рівняння Бюргерса, який асимптотично прямує до відмінних констант при z®±¥, показаний на рис. 6.3. Фізично він відповідає перепаду швидкості (і, відповідно, тиску) в одновимірному потоці газу, який біжить у бік області з меншою швидкістю течії і меншим тиском (хвиля стиснення[2]). Така хвиля виникає, наприклад, перед поршнем, що швидко (з надзвуковою швидкістю) рухається в циліндрі з газом, стискаючи цей газ. На фронті, ширина якого пропорційна параметру дисипації n, відбувається виділення тепла. Розв’язки такого типу відомі як ударні хвилі.

Рис. 6.3. Форма фронту ударної хвилі, описуваного рівнянням Бюргерса.

Обговоримо специфіку ударної хвилі в плазмі на прикладі найпростішої одновимірної моделі повністю іонізованої плазми з одним сортом однозарядних іонів. У реальній плазмі, на відміну від модельного рівняння Бюргерса, існує принаймні два параметри дисипації – коефіцієнти в’язкості та теплопровідності. Перший з них визначається іонами, другий – електронами (див. п. 3.3.2).

Характер ударної хвилі істотно залежить від так званого числа Маха М – відношення швидкості течії до швидкості звуку. Оскільки в ударній хвилі і швидкості течії, і швидкості звуку будуть різними по різні боки від фронту, систему можна охарактеризувати двома числами Маха – М₀ (перед фронтом ударної хвилі) та М₂ (за цим фронтом). Нелінійні ефекти суттєві при М₀³1.

Рис. 6.4. Форма фронту сильної ударної хвилі (всі величини дані у відносних одиницях).

При М₀~1 говорять про слабку ударну хвилю. В такій хвилі характерний масштаб електронної теплопровідності плазми (тобто обумовлена електронною теплопровідністю довжина, на якій помітно змінюються параметри плазми, в першу чергу, її температура) виявляється значно більшим від характерного масштабу іонної в’язкості. Тому ширина фронту слабкої ударної хвилі визначається характерною довжиною електронної теплопровідності – по суті, довжиною вільного пробігу електронів.

Сильні ударні хвилі реалізуються при М₀>>1. І в цьому випадку на початковій ділянці фронту домінує електронна теплопровідність, за рахунок якої відбувається розігрів плазми перед фронтом ударної хвилі. В результаті стиснення плазми при проходженні сильної ударної хвилі відбувається, коли електронна температура практично досягає свого значення за фронтом (рис. 6.4 а). Перепад швидкості та іонної температури формується за рахунок іонних в’язкості та теплопровідності (так звана іонна ударна хвиля). Таким чином, плазма в сильній ударній хвилі виявляється суттєво неізотермічною (рис. 6.4 а). Це спричиняє до її поляризації і виникнення електричного поля на фронті такої ударної хвилі (рис. 6.4 б).

6.1.4. Ударні хвилі без зіткнень

Рівняння КдВ (6.1) записане без урахування дисипації. В більш загальному випадку, взявши до уваги дисипативні ефекти, отримаємо так зване узагальнене рівняння Кортевега – де Вріза – Бюргерса:

. (6.3)

Це рівняння описує так звану ударну хвилю без зіткнень[3] (рис. 6.5 а). У такій хвилі ширина фронту визначається балансом між нелінійністю та дисперсією, а параметр дисипації забезпечує згасання осциляцій за фронтом.

а	б
Рис. 6.5: а – профіль ударної хвилі без зіткнень; б – профіль магнітного поля на фронті косої міжпланетної ударної хвилі з числом Маха М=2.5 (за вимірюваннями супутника ISEE[4]).

Ударні хвилі без зіткнень можуть спостерігатися в розрідженій плазмі з магнітним полем (магнітозвукові ударні хвилі – див. вище пп. 5.3.3-5.3.4). Нехай така хвиля поширюється перпендикулярно до магнітного поля. Ширина її фронту виявляється значно меншою від довжини вільного пробігу частинок плазми. Це обумовлено тим, що рух частинок, нагрітих ударною хвилею, в бік незбуреної плазми придушується магнітним полем. Таким чином, ширина фронту ударної хвилі виявляється величиною порядку ларморівського радіусу електронів. Одним з можливих механізмів, які визначають дисипацію, виступає тертя електронів об іони.

В хвилі описаного типу в ролі змінної u, який входить до рівняння (6.3), виступає магнітне поле.

Профіль магнітного поля, якісно подібний до зображеного на рис. 6.5 а, спостерігається на межі магнітосфери Землі (рис. 6.5 б), де на неї налітає сонячний вітер – потік плазми з вмороженим магнітним полем, що рухається від Сонця (див. п. 1.1.5).

Дата добавления: 2015-12-08