Основні типи нестійкостей плазми в ідеальній магнітній гідродинаміці

Перш ніж розглядати конкретні типи магнітних пасток, необхідно зупинитися на питанні про можливі нестійкості плазми, утримуваної магнітним полем.

Подібно до того, як у механіці рівновага тіла в полі сил не завжди буває стійкою, так і рівноважна конфігурація плазми в магнітному полі може виявитися нестійкою. Так буває, якщо мала флуктуація параметрів системи спричиняє до появи збурень, які швидко зростають і різко порушують початкову рівновагу плазми.

У цьому підрозділі ми розглядатимемо нестійкості плазми, які можна описати в рамках моделі ідеальної магнітної гідродинаміки (див. вище пп. 2.4.3-2.4.4), а в наступному – нестійкості, для опису яких необхідно врахувати скінчену провідність плазми. Але перед цим необхідно обговорити деякі загальні поняття, що стосуються нестійкостей у плазмі.

4.3.1. Природа нестійкостей плазми

Стан термодинамічної рівноваги плазми реалізується тоді, коли сама плазма та магнітне поле, в яке вона вміщена, є однорідними, а функція розподілу частинок плазми за швидкостями – максвеллівською. В такому стані ентропія плазми максимальна, а джерела вільної енергії, за рахунок якого могли б збуджуватися хвилі, немає.

Реальна плазма звичайно неоднорідна, зокрема, лабораторна плазма завжди просторово обмежена. Плазма, що утримується в магнітних пастках, до того ж уміщена в неоднорідне магнітне поле. Температура плазми в багатьох випадках значно вища від температури камери, в якій вона утримується. Таким чином, реальна плазма, як правило, не є термодинамічно рівноважною. Можна говорити лише про рівновагу в тому сенсі, що зовнішні сили компенсують одна одну, а рівняння руху може мати стійкий розв’язок, що відповідає стану спокою.

З іншого боку, наявна в системі вільна енергія може спричинити рух плазми або самозбудження в ній хвиль. Тоді відповідний стаціонарний стан буде нестійким. В результаті розвитку нестійкості вільна енергія плазми зменшується, а її стан змінюється в бік наближення до термодинамічної рівноваги.

4.3.2. Класифікація плазмових нестійкостей

Оскільки нестійкості плазми характеризуються багатьма ознаками, то можна запропонувати різні типи їхньої класифікації, взявши за основу ту чи іншу ознаку. Наприклад, такі нестійкості можна класифікувати за видом вільної енергії, яка забезпечує їхній розвиток. За такою ознакою можна виділити кілька основних типів нестійкостей плазми.

1. Нестійкості типу Релея - Тейлора розвиваються в неоднорідній плазмі, до якої прикладені сили неелектромагнітного походження (наприклад, сила тяжіння або сила відцентрового прискорення). Наявність зовнішньої сили дозволяє говорити про потенціальну енергію плазми в полі цієї сили. Вказана потенціальна енергія не є мінімальною. Отже, можливий перехід у стан з мінімальною енергією, що приводить до виділення вільної енергії, яка й витрачається на розвиток нестійкості[3].

2. Універсальні нестійкості обумовлені обмеженістю плазми, утримуваної, зокрема, магнітним полем. Тиск плазми прагне її розширити, а її теплова енергія, що при цьому вивільнюється, може піти на розвиток нестійкості.

3. Конфігураційні нестійкості, що розвиваються в плазмі, вміщеній у неоднорідне магнітне поле, черпають від магнітного поля енергію, обумовлену його первісною неоднорідністю. Енергія виділяється, наприклад, коли в результаті розвитку нестійкості магнітні силові лінії розпрямлюються.

4. Кінетичні нестійкості обумовлені анізотропією функції розподілу плазми за швидкостями. Перехід до ізотропного максвеллівського розподілу приводить до вивільнення енергії, що витрачається на розвиток нестійкості. Наприклад, у магнітному полі поздовжня та поперечна температури плазми можуть бути неоднаковими. Інший приклад такої анізотропії виникає в магнітній пастці, утвореній двома магнітними дзеркалами (див. вище п. 4.1.2). В такій пастці відсутні частинки, швидкість яких спрямована під малими кутами до осі системи. Енергія, що витрачається на розвиток нестійкості, виділяється в результаті максвеллізації первісно нерівноважної функції розподілу за швидкостями.

5. Потокові (пучкові) нестійкості можна розглядати як частинний випадок кінетичних. Вони обумовлені наявністю в плазмі пучка частинок високої енергії або протіканням у ній струму. Як і в попередньому випадку, енергія, що вивільняється в результаті максвеллізації сумарного розподілу частинок за швидкостями, йде на розвиток нестійкості. Конкретно спостерігається збудження коливань та хвиль за рахунок енергії пучка. Нестійкість такого типу буде розглянута в п. 5.6.

6. Параметричні нестійкості розвиваються в плазмі під дією збуджених у ній хвиль великої амплітуди і відбирають енергію від цих хвиль. В результаті в плазмі збуджуються інші типи хвиль або коливань. Прикладами можуть служити модуляційна нестійкість та параметричний розпад хвиль великої амплітуди в плазмі (див. нижче п. 6.3.3 та підрозділ 6.4).

У цьому та наступному підрозділах розглядатимуться нестійкості плазми в магнітних пастках, а саме нестійкості типу Релея - Тейлора, універсальні нестійкості та конфігураційні нестійкості. Ми продовжимо розгляд нестійкостей плазми в розділі 5, присвяченому лінійним хвилям (плазмово-пучкова нестійкість) та в розділі 6, де аналізуються нелінійні явища (модуляційна та параметрична нестійкість).

Коротко зупинимося на інших варіантах класифікації плазмових нестійкостей.

Всі нестійкості можна поділити на гідродинамічні та кінетичні в залежності від того, яка модель плазми необхідна для їхнього опису. В свою чергу, для плазми, утримуваної магнітним полем, гідродинамічні нестійкості можна поділити на нестійкості ідеальної магнітної гідродинаміки, при аналізі яких провідність плазми можна вважати нескінченною, та дисипативні нестійкості, опис яких вимагає врахування скінченої величини провідності.

У цьому підрозділі ми, як уже зазначалося, розберемо нестійкості ідеальної гідродинаміки, а в наступному – дисипативні магнітогідродинамічні нестійкості.

4.3.3. Нестійкість межі плазми в магнітному полі та її стабілізація

Найпростіший тип нестійкої рівноваги плазми можна проілюструвати на прикладі плазми з різкою межею, що утримується зовнішнім магнітним полем (див. рис. 4.6 б). Плазма займає верхній півпростір, магнітне поле – нижній, тобто межа плазми необмежена.

Нехай на плазму діє сила тяжіння. Під дією цієї сили магнітні силові лінії можуть зсуватися в площині xz, утворюючи на межі плазми нерівності, які з часом наростатимуть (рис. 4.6 в).

Ця система нагадує гідродинамічну нестійкість шару важкої рідини над шаром легкої рідини (власне нестійкість Релея – Тейлора). Якщо на межі поділу виникне хвилеподібне збурення (див. рис. 4.6 а), то „язики” важкої рідини тонутимуть, „язики” легкої – спливатимуть угору, і збурення з часом зростатиме. Можна показати, що інкремент такої нестійкості буде визначатися співвідношенням g=(kg)^1/2, де k – хвильове число збурення.

В плазмі, утримуваній магнітним полем, подібна нестійкість (так звана нестійкість Крускала – Шварцшильда) може розвинутись, якщо хвильовий вектор збурення буде перпендикулярним до магнітного поля (рис. 4.6 в).

Можна сказати, що нестійкість Крускала – Шварцшильда пов’язана з тим, що магнітні силові лінії в необмеженій моделі не мають ні початку, ні кінця і, відповідно, можуть вільно рухатися в просторі (разом із примороженою до них плазмою). Тому, щоб стабілізувати цю нестійкість, кінці магнітних силових ліній треба якимось чином зафіксувати. Це можна зробити, наприклад, уморозивши їх у провідну стінку камери.

а	б
в	Рис 4.11: а – шар важкої рідини, що знаходиться над шаром легкої рідини, і розвиток нестійкості Релея - Тейлора ( – сила Архімеда, – сила ваги); б – плазма в гравітаційному полі, що утримується знизу магнітним полем; в – розвиток нестійкості Крускала - Шварцшильда на межі плазми з магнітним полем.

Отже, розглянемо проміжок, заповнений плазмою, що обмежений вертикальними ідеально провідними стінками, в які вморожене магнітне поле (рис. 4.12 а). Тепер кінці магнітних силових ліній закріплені, а їхні середні частини можуть вигинатися під дією ваги плазми. Вигин силових ліній приводить до появи пружної сили (див. п. 4.3.1), яка може компенсувати вагу плазми.

а	б
Рис. 4.12: а – утримання плазми горизонтальним магнітним полем, що знаходиться під нею; б – до визначення радіусу кривини магнітних силових ліній.

Нехай межа плазми є розмитою з характерним розміром dz. Додаткову силу пружності за рахунок вигину силових ліній (на одиницю об’єму) можна відповідно до формули (4.19) оцінити як В²/4pR. Радіус кривини силових ліній R, у свою чергу, можна оцінити як R»L²/2dz (див. рис. 4.12 б) [4]. Ця об’ємна сила повинна переважати силу ваги rg. Обравши dz порядку ширини перехідного шару плазма – магнітне поле, який завжди існує в реальних ситуаціях, отримаємо умову стійкості:

. (4.26)

Реально роль сили ваги може грати будь-яка інша сила, перпендикулярна до магнітного поля, що не залежить від знаку заряду – наприклад, відцентрова сила, пов’язана з рухом частинок уздовж викривленої силової лінії. В цьому випадку g у формулі (4.26) слід замінити на величину v_//²/R, де R – радіус кривини магнітної силової лінії, v_// – паралельна до магнітного поля компонента швидкості плазми.

Роль сили ваги може відігравати й сила, пов’язана з градієнтним дрейфом у неоднорідному магнітному полі. У цьому випадку замість g у формулу (4.1.6) слід підставити величину v_^²/2R (v_^ – компонента швидкості плазми, перпендикулярна до магнітного поля).

Якщо плазма рухається прискорено, то замість g слід узяти це прискорення. Остання ситуація реалізується в експериментах з інерціального термоядерного синтезу.

За механізмом надходження енергії, необхідної для її розвитку, ця нестійкість належить, очевидно, до класу нестійкостей типу Релея – Тейлора.

4.3.4. Жолобкова нестійкість

Як випливає з попереднього розгляду, опукла межа плазми, де виникає відцентрова сила при русі частинок уздовж силових ліній магнітного поля, в принципі має тенденцію до нестійкості. Це можна пояснити тим, що плазма, як діамагнетик, виштовхується в область слабшого магнітного поля.

Для замкнених магнітних пасток можна довести, що створити таке магнітне поле, напруженість якого зростає назовні від межі плазми поблизу кожної точки її поверхні, неможливо. Це означає, що плазма в деяких точках обов’язково межуватиме з областю, де магнітне поле спадає назовні, і в цих областях може проявитися нестійкість.

Характер нестійкості істотно залежить від величини параметра b= 8pp/B² (див. вище п. 4.2.1).

Якщо b~1, на поверхні плазми можуть утворюватись і розвиватися збурення типу „язиків” (рис. 4.13 а).

а	б
Рис. 4.13: Балонна мода (а) та жолобкова нестійкість (б) на поверхні плазми в області, де магнітне поле спадає назовні.

Внаслідок вмороженості поля в плазму утворення „язика” приводить до викривлення силових ліній і збільшення магнітної енергії. Ця робота виконується за рахунок теплової енергії плазми, що розширюється. Якщо „язик” зустрічає слабке поле, він буде поширюватися далі, що призводить до нестійкості межі плазми. Така нестійкість матиме локальний характер. Вона відома в літературі як балонна мода.

Природним засобом боротьби з балонною модою виглядає збільшення магнітного поля, тобто зменшення b. При малих b тиск плазми не може помітно змінити форму силових ліній, і балонна нестійкість стабілізується. Втім, таке рішення проблеми не є остаточним.

Реально в токамаках b<<1, тому збурення на межі плазми повинні відбуватися без деформації магнітних силових ліній. Такі збурення в принципі можливі. Вони мають характер перестановки цілих систем силових ліній, вмерзлих у плазму. Об’єм такої магнітної трубки зростатиме, якщо вона пересувається в область слабшого магнітного поля. Дане явище відоме як жолобкова нестійкість (рис. 4.13 б).

Стійкість щодо збурень такого типу досягається, якщо середня напруженість магнітного поля (вздовж силової лінії) зростає при віддаленні від поверхні плазми назовні.

Очевидно, як балонна, так і жолобкова нестійкості належать до класу універсальних нестійкостей. За невиконання умов рівноваги вони розвиваються за характерний час v_i/a, де v_i=(k_BT_i/M)^1/2 – теплова швидкість іонів, а – характерний розмір плазмового утворення.

4.3.5. Нестійкості плазмового шнура та плазмового тороїда

Розглянуті вище циліндричні конфігурації плазми – q-пінч і z-пінч (пп. 4.2.2-4.2.3) – також виявляються нестійкими.

При збуренні поверхні горизонтально розташованого q-пінча буде, очевидно, розвиватися нестійкість, подібна до нестійкості Крускала – Шварцшильда, оскільки магнітні силові лінії можуть вільно рухатися в напрямку, перпендикулярному до магнітного поля.

У випадку z-пінча, коли повздовжнє магнітне поле відсутнє, легко виникають нестійкості типу перетяжки та вигину (див. рис. 4.14 а, б). В першому випадку флуктуаційне зростання магнітного поля в області перетяжки магнітної трубки призводить до витіснення плазми й подальшого зростання магнітного поля в цій області. В другому випадку така сама ситуація має місце в області увігнутості магнітної трубки. Ці нестійкості руйнують геометрію системи, і плазма, взаємодіючи зі стінками, швидко охолоджується.

Усіх згаданих вище нестійкостей (вони, очевидно, належать до класу універсальних нестійкостей) можна позбутися накладанням додаткового повздовжнього магнітного поля, яке зробить плазмовий шнур жорстким (на вигин цих силових ліній потрібно витратити енергію). Результуючі магнітні силові лінії являтимуть собою спіралі, навиті на циліндричні поверхні.

а	б
Рис. 4.14. Нестійкості типу перетяжки (а) та вигину (б).

Крім нестійкостей, обумовлених розширенням плазми перпендикулярно до магнітного поля, можуть існувати нестійкості, притаманні самій магнітній конфігурації. Силові лінії прагнуть скоротитися шляхом деформації. Розглянемо, наприклад, комбінацію z-пінча та q-пінча, коли магнітні силові лінії мають вигляд гвинтових ліній, що навиті на поверхню плазмового стовпа (рис. 4.15 а). При b<<1 вони випростуються, а плазмовий шнур при цьому зазнає гвинтоподібної деформації (рис. 4.15 б). Така нестійкість, очевидно, належить до класу конфігураційних нестійкостей – енергія на її розвиток виділяється за рахунок розпрямлення магнітних силових ліній. Час її розвитку буде порядку v_A/a, де v_A=B₀/(4pnM)^1/2, a – характерний розмір плазмового утворення.

Рис. 4.15. Гвинтоподібна деформація плазмового шнура, обумовлена “пружністю” магнітних силових ліній.

Щоб позбутися гвинтової та жолобкової нестійкостей, необхідно, щоб крок гвинтових ліній змінювався при переході від однієї магнітної поверхні до іншої. Чим сильнішою буде перехрещення силових ліній на сусідніх поверхнях (так званий шир), тим стійкішою буде рівновага. Справді, шир перешкоджатиме як розвитку перестановочної жолобкової нестійкості через „переплутування” трубок при радіальному зміщенні, так і розвитку гвинтової нестійкості, оскільки гвинтові лінії з відмінним кроком заважатимуть одна одній деформувати плазмовий шнур при своєму скороченні.

У цьому пункті досі йшлося про нестійкості плазмового шнура. Але викладені тут механізми практично без змін можуть бути перенесені на випадок плазмового тороїда.

Контрольні питання до підрозділу 4.3

1. Поясніть якісно, чому межа плазми, утримуваної магнітним полем, буде нестійкою. Як на таке утримання впливає наявність провідних стінок?

2. Як залежить характер нестійкості опуклої межі плазми, утримуваної магнітним полем, від співвідношення між магнітним та газокінетичним тиском?

3. Чому в тороїдальних магнітних пастках завжди виникають передумови для виникнення жолобкової нестійкості?

4. Чому наявність ширу магнітних силових ліній стабілізує розвиток жолобкової нестійкості?

5. Які типи нестійкостей стовпа ідеальної плазми в магнітному полі Вам відомі? До яких наслідків вони призводять?

6. Перерахуйте відомі Вам нестійкості ідеальної магнітної гідродинаміки і поясніть, звідки береться енергія на розвиток кожної з них.

Задачі до підрозділу 4.3

1. Магнітне поле індукцією 10 кГс, кінці силових ліній якого вморожені в провідні стінки, розташовані на віддалі 30 см одна від одної, утримує нижню межу повністю іонізованої цезієвої плазми з концентрацією 10¹² см^-3. Оцініть розмір перехідної області між плазмою та магнітним полем.

2. Повністю іонізована дейтерієва плазма з температурою 100 еВ та концентрацією 10⁸ см^-3 утримується в магнітній пастці. За яких значень індукції магнітного поля жолобкова нестійкість такої плазми відіграватиме провідну роль порівняно з гвинтовою?

Дата добавления: 2015-12-08