Проверка полученного решения с помощью встроенной функции MathCad rkfixed( ).

Метод Рунге-Кутты второго порядка точности.

Согласно этому методу, для решения задачи Коши используется семейство разностных схем вида

.

Все эти схемы при любом параметре имеют порядок аппроксимации . В частности, при численное решение исходной задачи Коши принимает вид:

Явный двухшаговый метод Адамса.

Двухшаговая схема Адамса имеет вид:

.

Погрешность аппроксимации этой схемы имеет второй порядок по . Для начала работы схемы необходимо знать не только , но и , значение которого можно определить с помощью рассмотренного выше метода Рунге-Кутты. Тогда решение исходной задачи Коши средствами пакета MathCAD примет вид:

Неявный двухшаговый метод Адамса.

В соответствии с этим методом приближенное решение задачи Коши ищется с помощью неявной разностной схемы

где .

Значение определяется с помощью метода Рунге-Кутты.

Для решения неявного нелинейного уравнения предлагается воспользоваться методом последовательных приближений:

.

В качестве нулевого приближения можно использовать решение, полученное с помощью явной двухшаговой схемы Адамса.

Рассмотрим этот процесс на нашем примере. Будем использовать обозначения:

, , .

Тогда, используя средства пакета MathCAD, получим:

Методом Рунге-Кутта 4-го порядка найти решение дифференциального

Уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

y(0)=1 на отрезке [0, 8p]. Сравнить полученные результаты с решением, полученным с помощью встроенных функций MathCad.

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я з а д а н и я

правая часть дифференциального уравнения

задание начальных условий

число точек разбиения отрезка интегрирования

границы отрезка интегрирования

вычисление шага интегрирования

значение шага интегрирования

расчетные формулы метода Рунге-Кутта, заданные в виде функций пользователя

построение точечного решения

графическое решение уравнения и таблица значений функции у(х)

проверка полученного решения с помощью встроенной функции MathCad rkfixed().

правая часть дифференциального уравнения

задание начальных условий

конец отрезка интегрирования

число точек разбиения отрезка интегрирования

графическое решение уравнения и таблица значений функции у(х), полученные с помощью встроенных функций MathCad для решения дифференциальных уравнений

Очевидно абсолютное совпадение полученных решений.

---

Дата добавления: 2015-12-08