Описание ЛДС на основе структурных схем

Из соотношения (4.12) следует, что во временной области ЛДС можно описать линейным разностным уравнением порядка N. Одной из целей введения пространства состояний является понижение порядка исходного разностного уравнения путем перехода к системе из N линейных разностных уравнений
первого порядка. Рассмотрим прямую каноническую структуру 1 ЛДС второго порядка, изображенную на рис. 7.3. Считается целесообразным вводить переменные состояния как сигналы на выходах элементов задержки. Такое введение переменных состояния является не единственным, но обладает хорошей наглядностью, т. к. позволяет отождествить каждую переменную с содержимым регистра или ячейки памяти микропроцессора, входящих в состав линии задержки. Разумеется, число переменных состояния будет не меньше порядка цифровой цепи. На основании вышеизложенного будем считать, что на рис. 7.3 сигнал

v(n-2) совпадает с переменной q₁ (n), а сигнал v(n - 1) — с переменной q₂(n). После этого прямая каноническая структура 1 примет вид, изображенный на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Прямая каноническая структура 1 с переменными состояния

Из рисунка видно, что переменная q₂ (n) опережает q₁(n) на один период дискретизации 7'. Аналогично промежуточная переменная v(n) опережает q₂ (n) Математически в нормированном времени это можно записать следующим образом:

(8.3)
(8.4)

Структурная схема показывает, что промежуточная переменная v(n) есть алгебраическая сумма трех сигналов:

(8.5)

Подставляя уравнение (8.5) в (8.4) и незначительно модифицируя запись уравнения (8.3), получим систему двух линейных разностных уравнений, описывающих временную динамику переменных состояния:

(8.6)

Переходя к матричным обозначениям, можно ввести вектор-столбец состояния размера 2x1

(8.7)

квадратную матрицу коэффициентов размера 2x2

(8.8)

и матрицу-столбец размера 2х1

(8.9)

С учетом введенных обозначений (8.7)-(8.9) систему (8.6) запишем в следующем виде:

(8.10)

Уравнение (8.10) называется матричным уравнением состояния ЛДС второго порядка. Оно, естественно, также будет линейным. Получим для той же схемы уравнение для выходного сигнала у(п). Прежде всего заметим, что у(п) является алгебраической суммой трех переменных

(8.11)

С учетом (8.5) уравнение (8.11) примет вид

(8.12)

Введем матрицу-строку размера 1x2

(8.13)

и для единообразия — матрицу D, состоящую из одного элемента b₀:

(8.14)

С учетом (8.13), (8.14) и (8.7) уравнение (8.12) может быть записано в следующем виде:

(8.15)

Уравнение (8.15) называют уравнением выхода ЛДС. Несмотря на то что в уравнении фигурируют векторы и матрицы, оно позволяет найти скалярный выходной сигнал y (n). Нетрудно показать, что ЛДС с канонической структурой 1 произвольного порядка N описывается уравнениями (8.10) и (8.15). Матрицы А, В, С и вектор q (и) будут иметь размеры N x N, N x 1, 1 x N и N x 1 соответственно. При этом матрицы обладают следующими структурами:

(8.16)

(8.17)

(8.18)

Матрица D соответствует скаляру b_o.

В случае нерекурсивных линейных цифровых систем в равенствах (8.16) и (8.18) следует положить все коэффициенты а₁,... α_N равными нулю. При этом описание ЛДС в пространстве состояний становится тривиальным.

Дата добавления: 2015-12-08