Читайте также:
|
|
Основной характеристикой ЛДС в z-области является z-изображение импульсной характеристики h(n)
(5.1)
которое определяется по формуле прямого Z-преобразования (2.18)
(5.2)
При известном z-изображении H(z) импульсная характеристика h (п) находится с помощью обратного Z-преобразования
(5.3)
H(z) - называют передаточной функцией (ПФ)ЛДС. Соотношение(5.2) есть математическое определение ПФ.
Соотношение вход-выход ЛДС во временной области описывалось с помощью формулы свёртки либо в виде разностного уравнения. Рассмотрим поочерёдно их отображение в z-области.
Формуле свёртки(см. лекцию 4)
в z- обласпш соответствует уравнение (см. лекцию 3, свойства Z-преобразования)
(5.4)
где X(z) и Y(z) - z-изображения воздействия и реакции.
На основании (5.4) передаточную функцию можно представить как отношение
(5.5)
которое позволяет ее определить следующим образом.
Передаточная функция (ПФ) ЛДС H(z) - это отношение z-изображения реакции к z-изображению воздействия при нулевых начальных условиях. Данное определение ПФ не противоречит приведенному выше математическому (5.2). Действительно, согласно определению, импульсная характеристика h(n) есть реакция на воздействие в виде единичного цифрового импульса и0 (n). Подставив z-изображения воздействия и реакции в (5.5), получим математическое определение (5.2)
учитывая, что Z{и0(n)} = l (см. лекцию 3).
Разностному уравнению (4.13)
в z-области соответствует уравнение, которое можно получить, выполнив Z-преобразование правой и левой частей РУ
Используя свойства Z-преобразования — линейность и теорему о запаздывании (см. лекцию 3), запишем
откуда после приведения подобных имеем искомое уравнение
(5.5а)
Разделив обе части этого уравнения на X(z), получим передаточную функцию общего вида
(5.6)
- дробно-рациональную функцию, числитель и знаменатель которой - многочлены от z-1 порядков (N-1) и (М -1) с вещественными коэффициентами bj и ak. Из (5.6) следует, что ПФ зависит исключительно от внутренних параметров ЛДС и не зависит ни от воздействия, ни от реакции.
Порядком ПФ называют наибольшее из чисел (N-1) и (М -1). Здесь и да-
лее полагаем, что порядок многочлена числителя не превосходит порядок
многочлена знаменателя
Как любая дробно-рациональная функция, ПФ (5.6) характеризуется своими особыми точками (полюсами) и нулями.
Нулями ПФ называют значения г, при которых H(z) (5.6) оказывается равной нулю.
Особыми точками (полюсами) ПФ называют значения г, при которых знаменатель H(z) оказывается равным нулю.
Определение особых точек и нулей передаточной функции ЛДС выполняется подобно тому, как это делается в теории линейных аналоговых цепей.
Предварительно следует записать ПФ H (z)(5.6) как отношение многочленов положительных степеней z, для чего числитель и знаменатель Н (z) надо умножить на zM-1. Целесообразно выделить два случая:
Тогда после умножения числителя и знаменателя H(z)(5.6) на z(M-1 ) имеем
(5.6а)
Нулями передаточной функции H (z) будут корни уравнения, соответствующего числителю
(5.7)
а полюсами — корни уравнения, соответствующего знаменателю
(5.8)
Если среди полюсов встречаются одинаковые, их называют кратными.
Тогда после умножения числителя и знаменателя H(z) (5.6) на z(M-1) имеем
Полюсы такой ПФ определяются так же, как в первом случае. Что касается нулей, то помимо корней уравнения числителя (5.7) добавляются нули в точке z = ∞, кратность которых равна разности порядков многочленов знаменателя и числителя
Как правило, эти нули не являются информативными, поэтому обычно их опускают.
Картой нулей и полюсов называют изображение координат нулей (кружочками °) и полюсов (звездочками *) на комплексной z-плоскости. Как будет показано в дальнейшем, такая карта является весьма важной графической характеристикой ЛДС.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 129 | Нарушение авторских прав