Формула свертки

Получим уравнение взаимосвязи между входным х(пТ) и выходным у(пТ) сигналами для ЛДС, заданной своей импульсной характеристикой h(nT). Воспользуемся определением ИХ и свойствами ЛДС. Будем последовательно записывать соответствия, указываемые стрелкой, между воздействием и ре­акцией:

- по определению, воздействию в виде единичного цифрового импульса соответствует реакция, называемая импульсной характеристикой

- на основании свойства инвариантности во времени, воздействию, задер­жанному на время тТ, соответствует реакция, задержанная на то же время

- на основании свойства однородности (4.3) линейных систем, умножению воздействия на константу х(mТ) соответствует реакция, умноженная на тот же коэффициент

- на основании свойства аддитивности (4.2) линейных систем, реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий

- с учетом нулевых начальных условий (4.4)

слева имеем воздействие (см. лекцию 1)

(4.5)

а справа — реакцию

где h(nT - mT) -импульсная характеристика, задержанная на m периодов дискретизации.

линейное уравнение (4.5) называют формулой свертки. Согласно этой формуле, реакция у(пТ) вычисляется как дискретная свертка воздействия x (пТ) и импульсной характеристики h(nT).

Используя стандартное условное обозначение операции свертки, формулу (4.5) удобно представить в следующем компактном виде

Выполнив замену переменных в (4.5), можно получить другой вариант запи­си формулы свертки

(4.6)

Для нормированного времени формула свертки в двух вариантах записи (4.5) - (4.6) принимает вид соответственно

(4.7)

(4.8)

Покажем тождественность результатов вычисления по формуле свертки в двух вариантах ее записи (4.7) - (4.8). Определим реакцию в точке п = 3. По формуле свертки, вариант (4.7), имеем

по формуле свертки, вариант (4.8), имеем тот же результат

Выбор варианта формулы свертки определяется удобством применения в конкретном случае.

Весьма важно, что математическое описание соотношения вход-выход с по­мощью формулы свертки удовлетворяет условию физической реализуемости ЛДС, предполагающему соблюдение принципа причинности, в соответствии с которым при нулевых начальных условиях реакция не может возникнуть раньше воздействия.

Пример 4.1. Вычислить реакцию ЛДС по формуле свертки.

Импульсная характеристика и воздействие заданы графически (см. рис. 4.4-4.5). Требуется определить восемь отсчетов реакции.

Рис. 4.4. Импульсная характеристика

Рис. 4.5. Воздействие

Решение приведено в табл. 4.1, график вычисленной реакции представлен на рис. 4.6.

Таблица 4.1. Вычисление реакции по формуле свертки

Таблица 4.1 (окончание)

Рис. 4.6. Реакция

Механизм вычисления отсчетов реакции у(п), п= 0, 1, 2,... по формуле свертки можно представить как последовательное вычисление сумм локаль­ных произведений двух последовательностей — импульсной характеристики и воздействия. При этом одна из последовательностей фиксирована, а другая зеркально отображается относительно оси ординат и скользит слева направо по оси времени. При использовании формулы свертки в варианте ее записи (4.8) фиксированной будет импульсная характеристика, а скользящим — воз­действие. Механизм вычисления по формуле свертки (4.8) для примера 4.1 иллюстри­рует рис. 4.7. Фиксированная импульсная характеристика показана на рис. 4.7, а, воздействие - на рис. 4.7, б, зеркально отображенное воздейст­вие - на рис. 4.7, в, а результат его последовательного скольжения - на рис. 4.7, г-з. Первый отсчет реакции у(0) вычисляется как сумма локальных произведений последовательностейпа рис. 4.7, а и рис. 4.7, в, второй отсчет реакции у(1) — как сумма локальных произведений последовательностей на рис. 4.7, а и рис. 4.7,г, и так далее. Очевидно, что вычисление следует прекратить, как только все локальные произведения окажутся равными нулю. Это произойдет, когда последова­тельности "разойдутся", то есть у двух перемножаемых последовательностей не будет ни одного совпадения отсчетов ни в один из моментов времени п. В рассматриваемом примере последовательности "расходятся" при сдвиге скользящего воздействия по оси времени на т = 5 (см. рис. 4.7, з).

Рис. 4.7. Вычисление по формуле свертки

Рассмотренный механизм вычисления реакции по формуле свертки позволяет сделать, следующие выводы:

- если длительность, воздействия и/или импульсной характеристики беско­нечна, длительность реакции также бесконечна;

- если длительности воздействия х(пТ) и импульсной характеристики h (nT) конечны и равны NT и МТ, то длительность реакции у(пТ) также конечна и равна LT, где

(4.9)

- при п ≥ L последовательности (импульсная характеристика и скользящее зеркально отображенное воздействие) "расходятся" и у(пТ) ≡ 0;

- при конечных воздействии и импульсной характеристике формула сверт­ки в двух вариантах записи для нормированного времени приобретает вид (4.10)

(4.11)

в примере 4.1 длина входной последовательности (воздействия) равна N =2, а длина импульсной характеристики М= 4, поэтому длина L вы­ходной последовательности (реакции) равна (см. рис. 4.6)

Операцию дискретной свертки в формулах (4.7) - (4.8) называют линейной (апериодической) сверткой в отличие от другой ее разновидности – круго­вой (периодической) свертки (см.п.11.3).

Дата добавления: 2015-12-08