Читайте также:
|
|
Преобразование Фурье функции f(nT) связано с Z-преобразованием (2.18) соотношением
(2.20)
поэтому преобразование Фурье функции f(nТ) тождественно Z-преобразованию данной функции на единичной окружности комплексной z-плоскости. Соответственно, прямым преобразованием Фурье функции f(nT) называют
(2.21)
где f(nT) — оригинал — решетчатая функция (последовательность вещественных или комплексных отсчетов), F(ejωT) — фурье-изображение (фурье-образ) функции f(nT) - результат преобразования Фурье.
Преобразование Фурье однозначно связано с функцией f(nT) и справедливо в области абсолютной сходимости ряда
(2.22)
Из формулы (2.21) видно, что результатом преобразования Фурье решетчатой функции f(nT) является непрерывная периодическая функция F(ejωT), поскольку аргумент данной функции ejω1 (в свою очередь функция) периодичен с периодом по частоте ω, равным 2п:
Т
(2.23)
Следовательно, соотношение (2.21) является одновременно
- прямым преобразованием Фурье решетчатой функции f(nT) и
- рядом Фурье (2.14) непрерывной функции F(ejωT)
где интервал ∆t = Т, а f(n) - решетчатая функция в шкале нормированного времени (T= 1).
Поэтом) коэффициенты f(n) ряда Фурье (2.23) можно вычислить по известной формуле (2.16):
(2.24)
где период
При этом соотношение (2.24) является одновременно:
- обратным преобразованием Фурье решетчатой функции f(nT) и
- коэффициентами ряда Фурье непрерывной функции F(e jωT).
Таким образом, односторонним преобразованием Фурье решетчатой функции f(nT) называется пара взаимно однозначных преобразований (2.21) - (2.24):
прямого
и обратного
В заключение отметим, что представления решетчатой функции f(nT) в трех областях (временной, частотной и z-области) однозначно взаимосвязаны, поэтому в какой бы области ни была задана исходная функция, можно аналитически получить ее представление в других областях, разумеется, при выполнении условий существования соответствующих преобразований.
Z-преобразование
При изучении аналоговых сигналов и линейных аналоговых цепей введение преобразования Лапласа оказалось очень полезным. На его основе определяются такие фундаментальные понятия, как передаточная функция, частотные характеристики, устойчивость цепей и т. д. В цифровой обработке сигналов подобным преобразованием является Z-преобразование. Оно позволяет упростить многие формулы, определить основные фундаментальные понятия и оказывается очень наглядной и удобной формой представления процессов, протекающих при цифровой обработке.
Соотношение между р- и z-плоскостями
Ранее (см. лекцию 2) было определено прямое Z-преобразование
(3.1)
где f(nT) — числовая последовательность (дискретный сигнал),
п — номер отсчета,
Т — период дискретизации.
При этом дискретный сигнал f(nТ) называется оригиналом, а функция F(z) — изображением.
Аргумент z функции F(z) является комплексной величиной, т. е.
(3.2)
или в полярных координатах
(3.3)
Довольно часто аргумент z называют оператором, а соотношение (3.1) - операторным представлением числовой последовательности. функция F(z) определена только для значений z, при которых ряд (3.1) сходится. Условие сходимости ряда (3.1) определяется соотношением:
Известно, что модуль произведения равен произведению модулей, поэтому
Вынесем нулевой член из-под знака суммы:
Значение \z-n\, с учетом соотношения (3.3), равно r -n:
Два последних равенства позволяют представить условие сходимости ряда (3.1) в виде:
Значение любого отсчета, в том числе и f(0), всегда конечно (см. лекцию 2), поэтому сходимость определяется соотношением
Полученный ряд сходится, если
(3.4)
где R — верхний предел последовательности
Например, если f(nT) = an (цифровая экспонента), то ряд сходится вне окружности радиуса R = а.
Область z-плоскости, где обеспечивается выполнение условия (3.4), называется областью сходимости, а значение R —радиусом стоимости. Область сходимости ряда (3.1) показана на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Область сходимости Z-преобразования
Z-преобразование, описывающее дискретный сигнал (числовую последовательность) в z-плоскости, определяется на основании преобразования Лапласа, описывающего аналоговый сигнал в p-плоскости. Анализ соотношения между р- и z-плоскостями позволяет выявить условия корректного применения
Z-преобразования, а также сформулировать требования к аналоговые сигналам, обрабатываемым
средствами ЦОС. Связь между р- и z-плоскостями определяется соотношением (см. лекцию 2)
(3.5)
Аргумент р является комплексной величиной, т. е.
поэтому выражение (3.5) можно записать как
(3.6)
Из (3.6) с учетом формулы Эйлера следует, что
(3.7)
(3.8)
где
Следовательно, (3.3) примет вид
(3.9)
На основании (3.9) рассмотрим соотношение между некоторыми характерными точками р- и z-плоскостей.
1.Точка р-плоскости с координатами σ=0 и Ω= 0 отображается в точку z-плоскости с координатами ξ=1 и η= 0:
2.Точка р-плоскости с координатами σ=0иΩ= π/2Т отображается в точку z-плоскости с координатами ξ=0 и η=1:
3.Точка р-плоскости с координатами σ=0 и Ω =-π/2 Т отображается в точку z-плоскости с координатами
ξ= 0и η=-1:
4.Точки р-плоскости с координатами σ=0 и ±π/Т отображается в точку z-плоскости с координатами ξ= - и
η=0:
Рассмотренные точки р-плоскости лежат на мнимой оси (σ = 0) в интервале [Ω- π/Т,Ω + π/T]. Им
cоответствуют точки z-плоскости
(3.10)
Выражение (3.10) описывает окружность единичного радиуса. При этом интервалу [Ω - π/T, Ω + π/T] на мнимой оси р-плоскости соответствует один полный оборот в z-плоскости. Таким образом, учитывая периодичность соотношения (3.10) можно утверждать, что мнимая ось отображается в бесконечное число совпадающих окружностей.
5. Точки левой р-полуплоскости (σ < 0) отображаются внутрь круга единичного радиуса z-плоскости, т. к.
6. Центру круга на z-плоскости (z = 0) соответствует точка р-плоскости с координатами σ = -∞ и Ω = 0:
7. Точки правой p-полуплоскости (σ > 0) отображаются на z-плоскости, вне единичного круга, т. к.
Очевидно, что взаимно однозначное отображение р- и z-плоскостей возможно только для полосы
p-плоскости, заключенной между линиями, параллельными оси абсцисс и пересекающими ось ординат в точках ±jπk/T, где k = 0, ±1,±2, ±3...
Соотношения между некоторыми характерными точками р- и z-плоскостей представлены в табл. 3.1 и показаны на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Соотношение между z- и р-плоскостями
Таблица 3.1. Соотношения между z- и р-плоскостями
Основные свойства Z-преобразования
Формула (3.1) устанавливает соотношение между временным и операторным представлениями числовой последовательности. Если условие сходимости выполняется, соотношение (3.1) является единственным и взаимно однозначным. Рассмотрим наиболее часто используемые свойства этого преобразования.
1. Свойство линейности.
Задана некоторая числовая последовательность f(nT) представляющая собой сумму взвешенных числовых последовательностей ƒj(nT)
(3.11)
где a j — весовой коэффициент.
Если для всех fj(nT) известны z-изображения
тогда для последовательности f(n Т) z-изображение определяется формулой
(3.12)
Это свойство следует непосредственно из самого определения Z-преобразования. Так, подставив в выражение (3.1) вместо функции f(nT) ее представление (3.1 П и поменяв порядок суммирования, получим:
2. Z-npeобразование задержанной числовой последовательности (теорема запаздывания).
Задана числовая последовательность f(nT) = 0 при п < 0, и для нее известно изображение F(z). Тогда для задержанной числовой последовательности f((n - n0 )Т), где п0 - положительная целочисленная константа,
z-изображение определяется формулой
(3.13)
В этом нетрудно убедиться, применив замену переменной в выражении для прямого Z-преобразования:
Учитывая, что f(kT) = 0 при k < 0, окончательно получаем
Таким образом, задержка на,n0 тактов во временной области эквивалентна умножению z-изображения на константу z-n0.
Замечание.
Для опережающей числовой последовательности f((n+n0)T) где п положительная целочисленная константа, z-изображение определяется соотношением
(3.14)
Это легко показать:
В частности, при п0= 1
(3.15)
3. Z-преобразование свертки числовых последовательностей.
Сверткой числовых последовательностей f1(nT) и f2(nT) называется соотношение
(3.16)
Z- изображение свертки определяется формулой
(3.17)
где F1(z) и F2(z) - z-изображения последовательностей f1(nT) и f2 (пТ) соответственно.
Справедливость данного свойства можно доказать следующим образом:
4. Z-преобразование числовой последовательности, умноженной на экспоненту.
Задан дискретный сигнал, представляющий собой умноженную на экспоненту числовую последовательность
где а — положительное число.
Если для числовой последовательности f(nT) известно z-изображение
то для последовательности fэ(nT) z-изображение будет определяться по формуле
(3.18)
Покажем справедливость (3.18), воспользовавшись определением Z-преобразования:
Рассмотренные свойства позволяют достаточно просто находить изображения для большинства встречающихся на практике числовых последовательностей.
Обратное Z-преобразование
Задача восстановления оригинала по известному изображению решается при помощи обратного Z-преобразования:
(3.20)
где С - контур сходимости F(z) z n-1, охватывающий начало координат z-плоскости.
Непосредственно решить такой интеграл довольно сложно, а в большинстве случаев невозможно.
Поэтому рассмотрим три простых способа нахождения обратного Z-преобразования:
- с использованием таблицы соответствий;
- на основании теоремы Коши о вычетах;
- путем разложения изображения на простые дроби.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 96 | Нарушение авторских прав