Преобразование Фурье. Одностороннее преобразование Фурье функции f(t) связано с преобразова­нием Лапласа

Одностороннее преобразование Фурье функции f(t) связано с преобразова­нием Лапласа соотношением

(2.5)

поэтому преобразование Фурье функции f(t) тождественно преобразованию Лапласа этой функции на комплексной оси jω р-плоскости. Соответственно, односторонним преобразованием Фурье функции f(t) на­зывается следующая пара взаимно однозначных преобразований:

Прямого(2.6)

и обратного(2.7)

гдеf(t) - оригинал - непрерывная или кусочно-непрерывная функция (вещественная или комплексная), удовлетворяющая условиям Дирихле;

F(jω) — фурье-изображение (фурье-образ) функции f(t) — результат пре­образования Фурье.

Преобразование Фурье справедливо в области абсолютной сходимости интеграла

(2.8)

Сравнивая условия сходимости интегралов в преобразованиях Лапласа и Фу­рье (2.4) и (2.8), отметим, что преобразование Фурье справедливо для более узкого класса сигналов, чем преобразование Лапласа. Действительно, допус­тим, что условие сходимости (2.8) не выполняется, однако можно подобрать такое значение а, при котором будет выполняться условие сходимости пре­образования Лапласа (2.4).

Из сравнения рассмотренных преобразований видно, что представления непрерывной функции f(t) в трех областях (временной, частотной и р-области) однозначно взаимосвязаны, поэтому в какой бы области ни была задана исходная функция, можно аналитически получить ее представление в других областях, разумеется, при выполнении условий существования со­ответствующих преобразований.

В дальнейшем, говоря о преобразованиях Лапласа и Фурье, будем по умол­чанию подразумевать односторонние преобразования.

Ряд Фурье

Непрерывная периодическая функция времени f (t) с периодом T_s, удовле­творяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена рядом Фурье:

(2.9)

Где ∆ω — период дискретизации по частоте ω,

(2.10)

k - нормированная частота, соответствующая абсолютным значениям час­тоты ω, равным k∆ω,

F(k) — коэффициенты Фурье (комплексные числа), вычисляемые по формуле:

(2.11)

Непрерывная периодическая функция частоты F(ω) с периодом ω _s, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена рядом Фурье, симметричным ряду (2.19):

(2.12)

где ∆t — период дискретизации по времени t,

(2.13)

п - нормированное время, соответствующее абсолютным значениям вре­мени t, равным n∆t,

f(n)- коэффициенты Фурье (комплексные числа), вычисляемые по фор­муле:

(2.14)

Сравнивая пары формул (2.9)-(2.11) и (2.12)-(2.14), легко видеть взаимо­заменяемость независимых переменных t и ω.

Дата добавления: 2015-12-08