Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Оптимальное управление односекторной экономикой по критерию максимальной полезности

Читайте также:
  1. ERP и управление возможностями бизнеса
  2. III. СТРУКТУРА И УПРАВЛЕНИЕ СНО
  3. IV. Управление, руководство, кадры
  4. А.8 Управление внешне поставляемыми продукцией и услугами
  5. Автоматизированное проектирование здания СТОА с оптимизацией решений по критерию стоимости
  6. В соответствии с духовной природой сообщества Анонимных Наркоманов, наша структура должна быть одним из элементов служения, но не управлением.
  7. В. №44. Управление развитием производства в современных условиях.

Свойства функции Гамильтона и поиск ее экстремума

1. Непрерывная функция времени

2. Функция Гамильтона при оптимальном управлении на оптимальной траектории является постоянной

3. Функция Гамильтона на оптимальной траектории при оптимальном управлении в случае нефиксированности конечного момента времени равна нулю

4. Если ограничения на управление отсутствуют, то оптимальное управление достигается в одной из стационарных точек функции Гамильтона

 
 

 

 


5. Если ограничения на управление существуют, то наряду со стационарными точками необходимо проверить значения, которые принимает функция Гамильтона на границах

 
 

 


Типы граничных условий и виды краевых задач

1)

t0 tk
xi(t0)=x0
xn+1(t0)=xn+1,0
𝜓i(tk)=0

 

Решение краевой задачи сводится к итерационной процедуре, основным элементом которой является задача Коши, и заключается в подборе недостающих (n+1) начальных условий для сопряженных переменных 𝜓 с целью, чтобы в конечный момент времени сопряженные переменные 𝜓 приняли заданные значения, вытекающие из условия трансверсальности.

 

2)

 

 

 

t0 tk
xi(t0)=x0 xi(t0)=x0
xn+1(t0)=xn+1,0

 

 

3)

 

 

 

t0 tk
xi(t0)=x0 xi(tk)=x1k
  …….. …….
  xn(t0)=xn0 xm(tk)=xmk
xn+1(t0)=xn+1,0
𝜓m+1(tk)=0
  .........
  𝜓n(tk)=0

 

Алгоритм применения принципа максимума Понтрягина

 

Принцип максимума Понтрягина преобразует исходную постановку задачи оптимального управления к краевой задаче.

1. Преобразование исходной постановки задачи к универсальному виду

2. Запись функции Гамильтона

3. Отыскание оптимального управления

4. Запись канонической системы дифференциальных уравнений, в которой подставлено uopt

5. Конкретизация условий трансверсальности

6. Формулировка краевой задачи

 

 

Оптимальное управление односекторной экономикой по критерию максимальной полезности

 

Односекторная экономическая система рассматривается как единое целое. Производится один универсальный продукт, который можно потреблять и инвестировать. (модель Солоу)

 

 

1.

X=C+I

F – значение основных фондов,

X – объём производимой продукции,

C – потребление,

I – инвестирование,

L – рабочая сила

α1, α2 – коэффициент эластичности, показывающий изменение объёма производимой продукции при изменении основных фондов на 1%

 

2.

3.

4.

5.

 

– фондовооружённость,

– производительность труда,

– среднедушевое потребление,

– среднедушевое инвестирование.

ν – темп прироста рабочей силы

F=kL

 

μ – темп выбывания фондов

 

 

 

 

 

где δ – коэффициент дисконтирования (0<δ<1)

-функция полезности

 

Cmin≤C≤Akα1

 

Чтобы составить обобщённую задачу оптимального управления, введём следующие обозначения:

 

x1=k, u=c

 

 

 
 
Обобщенная задача оптимального управления

 


Гамильтониан для задачи будет равен

.

– условие отыскания оптимального управления.

Запишем условие трансверсальности:

 

Краевая задача:

  to=o tk=T

 

 

Введём функцию , которая обозначает теневую цену капитальных вложений (теневую цену приращения фондов).

 

 

Чтобы найти выражение, описывающее изменение теневой цены капитальных вложений, выполним следующие преобразования:

 
 
 


 

Оптимальным управлением является равенство предельной полезности и теневой цены капитальных вложений:

 

 

Рассмотрим случай:

 

φ(c)=c, φ(u)=u, Cmin≤u≤Ax1α1

 

 

 


При q(t)<1 функция монотонно возрастает, при q(t)>1 – монотонно убывает. Значение u слева ограничено значением cmin, а справа – значением Ax1α. Следовательно, оптимальное управление определяется следующим выражением:

режим сбалансированного роста экономики

Приняв х1=const, получим:

Совместно решая последние два уравнения, получим оптимальные значения фондовооружённости и управления при :

,

 

 

 

 

 

 


1) В случае, если x1(0)>x1*, то сначала выбирается режим максимального потребления, который заканчивается в момент, когда фондовооруженность достигает величины соответствующего значению режима сбалансированного роста экономики. После этого система переходит в режим сбалансированного роста экономики с параметрами x1*, u*.

 

2) В случае, если x1(0)<x1*, что соответствует низкой начальной фондовооруженности, оптимальное управление состоит из двух этапов. На первом этапе среднедушевое потребление принимается минимально возможным, при этом осуществляется максимальное инвестирование в развитие фондов, которое заканчивается достижением фондовооруженности значения, соответствующего значению сбалансированного роста экономики, после этого начинается второй этап сбалансированного роста экономики.


Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 37 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.024 сек.)