Читайте также:
|
|
Задача 1 (про швидкість прямолінійного нерівномірного руху).
У курсі фізики в середній школі вивчався рівномірний рух тіла, тобто такий рух, при якому за рівні проміжки часу тіло проходить рівні за довжиною відрізки шляху. Як відомо, швидкість v такого руху є величина стала і
,
де s – віддаль, а t – час, за який вона подолана. Але такий рух далекий від реальності. Очевидно, що жодне тіло, що рухається (машина, людина і т. п.) не переміщується із сталою швидкістю. Тому виникла задача про визначення швидкості руху за реальних умов, тобто при нерівномірному русі.
Нехай тіло рухається прямолінійно і відомий закон, за яким змінюється віддаль s в залежності від часу t, що пройшов від початку руху, тобто відома функція s = s (t), яка називається рівнянням руху. Як знайти швидкість v цього руху у фіксований момент часу t, тобто v (t)? Нехай до моменту t тіло пройшло віддаль s (t) (на рис.1 s (t) = OA). Надамо часу t невеликий приріст D t Тоді до моменту t + D t тіло пройде віддаль s (t + D t) (на рис.1 s (t + D t) = OB), а за час D t буде пройдено віддаль D s = s (t + D t) (на рис.1 D s = AB). Тепер можна визначити середню швидкість руху vС за проміжок часу від t до t + D t, тобто за час D t:
.
Якщо тепер зменшити D t, наприклад, взяти D t 1 = 0,1D t, то і vC буде, очевидно, змінюватися. При цьому момент t + D t 1 буде ближчим до моменту t і можна вважати, що нове значення буде краще характеризувати реальну швидкість в момент t.
Означення. За величину швидкості v (t) в момент часу t при прямолінійному русі приймають границю середньої швидкості vC, яка відповідає проміжку часу [ t, t + D t ] при D t ® 0, тобто
. (1)
Величина vt називається миттєвою швидкістю.
Задача 2 (про дотичну до кривої).
Розглянемо деяку криву, що задається в системі координат Oxy рівнянням y = f (x). Нехай A (x 0, ,f (x 0))– точка цiєї кривої (рис.2).
Означення. Дотичною AT до кривої в точці A, що лежить на кривій, називається граничне положення її січної AB, якщо точка B прямує до точки A по кривій.
Проведемо в точці A дотичну і будемо визначати її кутовий коефіцієнт. Нагадаємо, що кутовим коефіцієнтом прямої називається тангенс кута, утвореного цією прямою з додатним напрямом осі Ox:
k = tg a.
Отже, потрібно знайти тангенс кута між дотичною AT і віссю Оx.
Надамо абсцисі x 0 приріст D x і від точки A перейдемо до точки B з координатами (x 0 + D x, f (x 0 + D x)) (рис.2, AB – січна). Із D ABC визначимо tg j, де j – кут нахилу січної AB до осі Оx, тобто
j = Ð CAB. Очевидно, що
.
Нехай . Тоді, згідно з означенням, січна AB прямуватиме до дотичної AT, при цьому і . Тому
. (4)
Таким чином, усі чотири задачі з абсолютно різних областей приводять до того, що формально для розв’язку задач потрібно визначити одну і ту ж величину (порівняйте формули (1-4).
Дійсно, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначити через x, а залежну змінну – через y, то розв’язок кожної із задач знаходиться за допомогою граничного переходу у відношенні при D x ® 0, тобто за допомогою границі . Цю границю в математиці називають похідною.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 108 | Нарушение авторских прав