Понятие и представление комплексных чисел

Литература. [2], Гл. VII, § 1; [3], Гл. IX задачи 13.

Можно использовать также [6], Гл. VI, § 27; [7], Гл. X, § 1, задачи 10.1.1.

Действия над комплексными числами

Литература. [2], Гл. VII, § 2-5; [3], Гл. IX задачи 1-12, 14-52.

Можно использовать также [6], Гл. VI, § 28; [7], Гл. X, § 2, задачи 10.2.1., 10.2.2., 10.2.11.

Примеры решения типовых задач

№ 2.

Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел. Изобразить все числа на комплексной плоскости. Записать комплексные числа z₁ и z₂ в тригонометрической и показательной форме.

· z₁ = 2 + 2 i, z₂ = - 1 - i

Решение

а) Найдем сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел, используя формулы: z₁ = х₁ + iу₁, z₂ = х₂ + i у₂.

z₁ + z₂ = (х₁ + х₂) + i (у₁ + у₂),

z₁ - z₂ = (х₁ - х₂) + i (у₁ - у₂),

z₁ × z₂ = (х₁ + i у₁) × (х₂ + i у₂) = (х₁ х₂ - у₁ у₂) + i (х₁ у₂ + у₁ х₂),

, .

z₁ + z₂ = (2 - 1) + i (2 - 1) = 1 + i;

z₁ - z₂ = (2 + 1) + i (2 + 1) = 3 + 3 i;

z₁ × z₂ = (- 2 + 2) + i (- 2 - 2) = - 4 i;

;

.

Изобразим все числа на комплексной плоскости.

у у

3 z₁ - z₂

z₂ 2

z₁ 1 z₁ + z₂

- 1 0 2 х 0 1 3 х

у у

0 х

- 2 0 х

z₁ × z₂

б) Запишем комплексные числа z₁ и z₂ в тригонометрической и показательной форме.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = r (сos + i sin ).

Показательная форма записи комплексного числа: z = r е ⁱ .

Для того, чтобы перейти от алгебраической формы к тригонометрической и показательной необходимо найти:

– модуль комплексного числа r = ;

– аргумент комплексного числа Arg z или :

1) z₁ = 2 + 2 i

r = , комплексное число z₁ находится в первой четверти, значит аргумент комплексного числа будет равен = .

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

z₁ = (сos + i sin ).

Показательная форма записи комплексного числа:

z₁ = .

2) z₂ = - 1 - i

r = , комплексное число z₂ находится в четвертой четверти, значит аргумент комплексного числа будет равен = .

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

z₂ = (сos + i sin ).

Показательная форма записи комплексного числа:

z₂ = .

Тема 6. Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования

Литература. [2], Гл. X, § 1-6; [3], Гл. VI, § 1-2 задачи 2-135.

Можно использовать также[6], Гл. VII, § 29, 30; [7], Гл. VIII, § 1-2, задачи 8.1.1., 8.1.8., 8.1.15., 8.1.22., 8.2.1., 8.2.10., 8.2.15, 8.2.20., 8.2.30.

Интегрирование рациональных, тригонометрических

Дата добавления: 2015-12-08