Талица 1 Преобразованные исходные данные

№	Цель	5 летн. доходн.	№	Цель	5 летн. доходн.	№	Цель	5 летн. доходн.	№	Цель	5 летн. доходн.
	Быстрый рост	-2,8		Быстрый рост	9,9		Медленный рост	4,8		Медленный рост	15,4
	БР	3,3		БР			МР	5,4		МР	15,6
	БР			БР	10,1		МР	6,8		МР	16,7
	БР	4,2		БР	10,1		МР	7,6		МР	17,1
	БР	4,3		БР	10,5		МР	7,6		МР	17,7
	БР	4,5		БР	10,5		МР	7,9		МР	18,5
	БР	4,6		БР	10,5		МР	8,1		МР	18,6
	БР	5,2		БР	10,5		МР	8,2		Медленный рост	21,4
	БР	5,4		БР	10,7		МР	8,4
	БР	5,9		БР	10,8		МР	8,4
	БР			БР	10,9		МР	8,4
	БР	6,3		БР			МР	8,5
	БР	6,5		БР	11,1		МР	8,8
	БР	7,1		БР	11,1		МР	8,8
	БР	7,2		БР	11,3		МР
	БР	7,3		БР	11,3		МР	9,3
	БР	7,6		БР	11,5		МР	9,4
	БР	7,9		БР	11,5		МР	9,4
	БР	8,1		БР	11,6		МР	9,6
	БР	8,1		БР	11,7		МР	9,8
	БР	8,3		БР	11,9		МР
	БР	8,4		БР	12,7		МР	10,2
	БР	8,5		БР	13,7		МР	10,4
	БР	8,5		БР	13,9		МР	10,6
	БР	8,6		БР	14,1		МР	10,9
	БР	8,8		БР	14,7		МР
	БР	9,1		БР			МР	12,2
	БР	9,1		БР	16,9		МР	12,2
	БР	9,2		БР			МР
	БР	9,3		БР	17,6		МР	13,2
	БР	9,5		БР	17,8		МР	13,3
	БР	9,5		БР	18,5		МР	14,2
	БР	9,6		БР			МР	14,8
	БР	9,9		Быстрый рост	22,9		МР	15,1
	Быстрый рост	9,9					Медленный рост	15,2

Расчет выборочных средних и и выборочных дисперсий проведем с использованием соотношений (1), (2).

(1)

= ; = ; (2)

Остальные описательные статистики определим с помощью программного комплекса Statistica.

Результаты расчетов показателей переменной «5летняя доходность» приведены в табл. 2.

Таблица 2 - Результаты расчетов показателей переменной «5летняя доходность»

Переменная «Цель»	Описательные статистики переменной «5 летняя доходность»
Объем выборки N	Выборочное среднее	Медиана Me	Мода Мо	Выборочное СКО S	Диспер-сия S^2	Асим метр r3	Экс-цесс Ex
Быстрый рост		10,03188	9,9000	10,50	4,291150	18,414	0,49	1,75
Медленный рост		11,43023	10,20000	8,40	3,890375	15,135	0,66	-0,28

Из табл. 2 видно, что описательные статистики , Ме, Мо не равны друг другу, что означает, что обе кривые распределения несколько отличаются от кривой нормального распределения. Об этом же говорят ненулевые значения коэффициента асимметрии r₃ и эксцесса Ех.

Для более наглядного представления о кривых распределения переменной «5 летняя доходность» построим их гистограммы распределения, которые приведены на рис. 1.

Из рис.1 видно, что, хотя гистограммы несколько асимметричны относительно среднего значения, они довольно близко примыкают к кривым нормального распределения.

Учитывая, что t - критерий Стъюдента не очень критичен к форме распределения, будем считать, что гистограммы сравнительно неплохо аппроксимируются кривыми нормального распределения. В противном случае необходимо было бы использовать непараметрические методы сравнения (см. работу Непараметрические методы сравнения двух независимых выборок)

Рис.1 Гистограммы распределения переменной «5-летняя доходность»

для переменных «Цель» Быстрый рост и Медленный рост

Для проверки второго условия о равенстве дисперсий двух независимых выборок используют отношение дисперсий F = S²_{Быстрый рост}/ S²_{Медленный рост}.

Для приведенных в табл. 2 значений получаем F= 18,414/15,135 = 1,2167. Дисперсия переменной «5 летняя доходность» для Быстрого роста на 21,67% больше дисперсии переменной «5 летняя доходность» для Медленного роста, т.е. выборочные дисперсии числителя и знаменателя не равны друг другу. Определим, обусловлено ли это неравенство действием случайных факторов или существует статистически значимое отличие дисперсий.

Проведем анализ дисперсий, используя общую схему проверки гипотез:

Этап 1 Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы

Нулевая гипотеза H₀: выборочные дисперсии переменной «5-летняя доходность» для Быстрого роста S²_{Быстрый рост} и Медленного роста S²_{Медленный рост} одинаковы, а отличия обусловлены действием случайных факторов, т.е. H₀: S²_{Быстрый рост} = S² _{Медленный рост}, и выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

Альтернативная гипотеза H₁: дисперсии двух независимых генеральных совокупностей не совпадают: H₁: S²_{Быстрый рост} ≠ S²_{Медленный рост} т.е. выборки принадлежат разным генеральным совокупностям.

Этап 2 Выбрать подходящий метод статистической проверки гипотезы.

При нормальном распределении переменной «5летняя доходность» отношение выборочных дисперсий F = S²_{Быстрый рост}/ S²_{Медленный рост} подчиняется F-распределению Фишера, которое и выберем для проверки равенства дисперсий..

Этап 3 Выбрать уровень значимости α. Выберем уровень значимости α = 0,05 как наиболее часто используемый в маркетинговых исследованиях.

Используется двусторонний критерий (two-tailed test), поскольку априорно неизвестно, какая из двух дисперсий генеральной совокупности больше.

Этап 4 Сбор данных.

Объем выборки по условию задачи составляет N₁ = 69 для Быстрого роста, N₂ = 43 для Медленного роста.

Этап 5 Определить критическое значение статистики Фишера F_к для принятого уровня значимости, которое делит интервал на область принятия и неприятия нулевой гипотезы_.

Критическое значение статистики Фишера F_к определяется из специальных таблиц. Для нахождения критического значения статистики Фишера F_к необходимо определить число степеней свободы числителя df₁ (для Быстрого роста)и знаменателя df₂(для Медленного роста) отношения дисперсий F.

Для df₁ = N₁ – 1= 69 – 1 = 68степеней свободы, df₂ = N₂ – 1 = 43 – 1 = 42 степени свободы и уровня значимости α = 0,05 получаем F_к = 1,55.

Этап 6 Определениевыборочного значения статистики Фишера F и сравнение его с критическим значением Фишера F_к.

Выборочное значение статистики Фишера, равное отношению выборочных дисперсий, определено выше и равно F= 18,414/15,135 = 1,22. Критическое значение статистики Фишера F_к = 1,55.

Этап 7 Принятие статистического решения, касающееся того, принять или отвергнуть нулевую гипотезу H₀. Сравним выборочные значения F = 1,22 c критическим значением F_к = 1,55. Поскольку выборочное значение F = 1,22 меньше критического F_к = 1,55, следует принять нулевую гипотезу H₀. Следовательно, нет оснований считать, что дисперсии генеральных совокупностей различны.

Этап 8 Выразить статистическое решение с точки зрения проблемы маркетингового исследования.

Таким образом, выполнены оба условия, необходимые для применения критерия Стъюдента (t-test) для сравнения выборочных средних значений переменной «5 летняя доходность» для двух значений переменной «Цель» - Быстрый рост и Медленный рост.

Проведем сравнение выборочных средних переменной «Пятилетняя доходность» для двух значений переменной «Цель»: Быстрый рост и Медленный рост.

Этап 1 Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы

Нулевая гипотеза H₀: пятилетняя доходность для Быстрого роста и для Медленного роста примерно одинакова, т.е. математические ожидания двух независимых генеральных совокупностей не отличаются друг от друга:

H₀: μ₁= μ₂ или μ₁- μ₂ = 0, т.е. выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

Альтернативная гипотеза H₁: пятилетняя доходность для Быстрого роста и для Медленного роста будет отличаться, т.е. математические ожидания двух независимых генеральных совокупностей не совпадают:

H₁: μ₁≠ μ₂ или μ₁- μ₂ ≠ 0, т.е. выборки принадлежат разным генеральным совокупностям.

Этап 2 Выбрать подходящий метод статистической проверки гипотезы.

В нашем случае математические ожидания и дисперсии неизвестны, поэтому используются выборочные средние и выборочные дисперсии.

Если выборки являются случайными, независимыми и извлечены из нормально распределённых генеральных совокупностей, имеющих одинаковую дисперсию, можно применять t-критерий, использующий суммарную дисперсию. Статистика t, зависящая от суммарной дисперсии, имеет t распределение Стьюдента с df = N₁ + N₂ – 2 степенями свободы, где

N₁ - объём выборки, извлечённый из первой генеральной совокупности,

N₂ - объём выборки, извлечённый из второй генеральной совокупности.

Этап 3 Выбрать уровень значимости α.

Выберем уровень значимости α = 0,05 как наиболее часто используемый в маркетинговых исследованиях.

Используется двусторонний критерий (two-tailed test), поскольку априорно неизвестно, какое из двух математические ожиданий двух независимых генеральных совокупностей больше

Этап 4 Сбор данных.

Объем выборки по условию задачи составляет N₁ =69, N₂ =43.

Этап 5 Определить критическое значение статистики Стьюдента t_к для принятого уровня значимости, которое делит интервал на область принятия и неприятия нулевой гипотезы_.

Для уровня значимости α = 0,05 и df = 69 + 43 – 2 = 110степеней свободы получаем t_к = 1,98.

Этап 6 Определениевыборочного значения статистики Стьюдента t и сравнение его с критическим значением t_к.

Равенство дисперсий позволяет использовать t распределение Стьюдента для сравнения выборочных средних с использованием суммарной дисперсии по формуле (3):

t = (3)

t = = 1,737

Этап 7 Принятие статистического решения, касающееся того, принять или отвергнуть нулевую гипотезу H₀. Сравним выборочные значения t = 1,737 c критическим значением t_к = 1,98. Поскольку выборочное значение t = 1,737 не выходит за границу t_к = 1,98, справедлива нулевая гипотеза H₀.

Этап 8 Выразить статистическое решение с точки зрения проблемы маркетингового исследования.

Проведенное исследование показало, что переменная «Вид» не влияет на 5-летнюю доходность инвестиционных фондов, т.е. инвестиционные фонды с Быстрым ростом обеспечивают примерно такую же доходность как и инвестиционные фонды с Медленным ростом. Поэтому при вложении временно свободных средств инвестор может не принимать во внимание переменную «Цель».

Этап 9 Сопоставление с результатами расчетов по программе Statistica (см. таблицу 3).

Результаты расчетов по программе Statistica выборочных средних, дисперсий (в таблице 3 приведены средние квадратические отклонения) и t-статистики показывают хорошее совпадение с результатами «ручных» расчетов.

Таблица 3 T-test для независимых выборок

			t-статист	df	p	N1	N2	S1	S2	F-отношение Фишера	P Variance
5 летн.дох.	10,032	11,43	-1,737		0,085			4,29	3,89	1,217	0,4994

Наглядное представление о распределении переменной «5-летняя доходность» для двух значений переменной «Цель» - Быстрый рост и Медленный рост дает блочная диаграмма, приведенная на рис. 2

Дата добавления: 2015-12-08