Теоретическая часть. Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту или иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

Определение. Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Определение. Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y=f(x,C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

С геометрической точки зрения решением дифференциальных уравнений является семейство интегральных кривых.

При решении конкретных задач часто необходимо выделить из всей совокупности решений дифференциального уравнения то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

Задача Коши

Найти решение у=у(х) уравнения у′=f(x, y), удовлетворяющее при заданных начальных данных (х₀, у₀) начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид:

y′=f₁(x)∙f₂(y) (1)

Предположим, что . Тогда уравнение можно записать так:

(2)

Уравнение (2) называется уравнением с разделенными переменными.

Интегрируя почленно уравнение (2), получим общее решение уравнения (1)

.

Алгоритм решения

1) Разделить переменные (с учетом условий, когда это можно сделать).

2) Интегрировать почленно полученное уравнение.

3) Выяснить, имеет ли уравнение решение, не получившего из общего интеграла.

4) Найти частное решение (если нужно).

2. Однородные ДУ первого порядка

Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Например, функция является однородной третьего порядка, т.к.

Определение. Уравнение вида P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0, (3)

где P(x, y), Q(x, y) – однородные функции x и y одинаковой степени, называется однородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (3) можно привести к виду (4)

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

, т.е. y=ux и y^/=u^/x+u

После решения полученного ДУ относительно u, нужно выразить u через x и у и решить новое ДУ с разделяющимися переменными.

3. Линейные ДУ первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

(4)

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

(5)

Такого типа дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

,

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяется основном метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y=uv, где u=u(x), v=v(x)—некоторые функции от x, тогда y^/=u^/v+uv^/. Этот метод более подробно рассмотрен в практической части.

Дата добавления: 2015-07-08