Теоретическая часть. Пусть u1(x), u2(x), u3(x), ,un(x) – некоторая последовательность функций.

Пусть u₁(x), u₂(x), u₃(x),…,u_n(x) – некоторая последовательность функций.

Выражение вида u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+… называется функциональным рядом.

Определение.Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(1)

Где х—независимая переменная, --постоянные коэффициенты, а₀ – фиксированное число.

Степенным рядом такженазывают ряд вида

(2)

Он является частным случаем ряда (1) (a=0).

Теорема (Абеля).Если степенной ряд сходится в точке х₀,, то он абсолютно сходится в точке х, для которой .

Определение. Интервал (x₀-R, x₀+R), внутри которого ряд сходится, а вне его - расходится, называется интервалом сходимости, а число R - радиусом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из формул

или (3)

при условии, что пределы, в них входящие, существуют.

Замечание. Для ряда (2) интервалом сходимости является (-R;R).

Исследовать степенной ряд на сходимость - значит, найти интервал его сходимости и выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости.

В результате исследования рядов может получиться что:

1. R=0. Это означает, ряд сходится только при х=0.

2. R= . Это означает, ряд сходится на всей числовой прямой, т.е.

3. R—Число отличное от нуля. В данном случае областью сходимости может быть один из нижеперечисленных вариантов:

Дата добавления: 2015-07-08