Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретическая часть. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности

Читайте также:
  1. II. Основная часть
  2. IV. Счастье улыбается Мите
  3. А теперь следующий вопрос (Рассуждения Мэй Касахары. Часть 3)
  4. Б. Экзокринная часть: панкреатические ацинусы
  5. Беседа Х. О счастье.
  6. Буддадхарма безгранична и вечна - как бы она могла влезть в твои рамки счастья и удовлетворения?
  7. Буддадхарма безгранична и вечна – как бы она могла влезть в твои рамки счастья и удовлетворения?

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности

a1, a2, a3,…, an, …

называется числовым рядом и обозначается

(1)

При этом числа a1, a2, a3,…, an, называются членами ряда, а – общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру n его члена записать этот член ряда.

Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-ой частичной суммойряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакое числовое значение.

Необходимый признак сходимости числового ряда (1):

Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена равен нулю:

Отсюда вытекает, что если , то ряд расходится. Но выполнение необходимого признака сходимости не гарантирует сходимость данного ряда и следует исследовать ряд с помощью достаточных признаков сходимости.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Определение. Ряд , у которого все a1>0, a2>0,..., an>0,... называется знакоположительным числовым рядом.

Рассмотрим два знакоположительных числовых ряда:

(2)

(3)

Признак сравнения I. Пусть даны два числовых ряда (2) и (3). Исследуется на сходимость ряд (2). Известно поведение ряда (3). Если начиная с некоторого номера n:

1) an ≤ bn - члены ряда (2) не больше соответствующих членов ряда (3), и ряд (3) сходится, то и ряд (2) также сходится.

2) an ≥ bn - члены ряда (2) не меньше соответствующих членов ряда (3), и ряд (3) расходится, то и ряд (2) также расходится.

Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими известными рядами:

1) , a ≠ 0 (геометрическая прогрессия, сходящаяся при |q| < 1 и расходящаяся при |q| ≥ 1);

2) расходящийся гармонический ряд;

3) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при p > 1 и p ≤ 1).

Признак сравнения II. Пусть даны два числовых ряда (2) и (3). Исследуется на сходимость ряд (2). Известно поведение ряда (3). Если существует конечный предел , то оба ряда (2) и (3) либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же , то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2).

2 Признак Даламбера

Пусть дан ряд (2) с положительными членами. Допустим, что существует и

.

Тогда: 1) если ρ<1, то ряд (1) сходится;

2) если ρ>1,то ряд (1) расходится.

При ρ=1 требуется дополнительное исследование.

3 Признак Коши

Замечание. Признак Даламбера целесообразно применять тогда, когда общий член ряда содержит факториал или содержит одновременно степенную и показательную функции относительно n.



Признак Коши (радикальный). Пусть дан числовой ряд (2). Если существует предел , то

при k < 1 ряд (2) сходится,

при k > 1 ряд (2) расходится,

при k = 1 вопрос о сходимости ряда (2) остается открытым.

Замечание. Признак Коши (радикальный) целесообразно применять в том случае, если общий член ряда представляет собой n-ю степень некоторого выражения.

Интегральный признак Коши (основан на сравнении рядов с несобственными интегралами). Пусть общий член ряда (2) an = f(n) > 0. Если функция f(x), принимающая в точках x = n, n = 1, 2, 3, ... значения f(n), монотонно убывает в некотором интервале A<x<∞, где A>1, то числовой ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

 

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 186 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Практические задания | Теоретическая часть | Практическая часть | Объем тел вращения. | Практическая часть | Теоретическая часть | Практическая часть | Теоретическая часть | Вычисление двойного интеграла | Вычисление объемов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Практические задания| Практическая часть

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.007 сек.)