Теоретическая часть. Пусть функция f(x,y) определена внутри некоторой области D и на ее границе

Пусть функция f(x,y) определена внутри некоторой области D и на ее границе. Разобьем область D на n частичных областей D₁, D₂, ..., D_n. Их площади обозначим через ∆S₁,∆S₂,…,∆S_n. В каждой частичной области возьмем по произвольной точке (P₁(x₁; y₁) в области D₁, P₂ (x₂; y₂) в области D₂ , и т.д.). Составим интегральную сумму:

Обозначим через d наибольший из диаметров области D. Устремим n к бесконечности так, чтобы d стремилось к нулю.

Рис.1

Конечный предел последовательности S_n (если он существует) при d → 0 , который не зависит ни от способа разбиения области D , ни от выбора точек P₁, P₂, ..., P_n, называется двойным интегралом функции f(x,y) и обозначается

Функция f(x,y) называется интегрируемой функцией на области D . Область D называется областью интегрирования.

Непрерывная на замкнутой области функция является интегрируемой на этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть интегрируемая функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z = f(x,y).

повторном интеграле. (см. рис. 1)

Дата добавления: 2015-07-08