Теоретическая часть. С помощью производной решаются самые разнообразные прикладные задачи

С помощью производной решаются самые разнообразные прикладные задачи. В частности понятие производной является мощным инструментов для исследования функции.

Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,

если , то при – возрастающая, – убывающая.

Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего .

Теорема. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала l,то эта функция возрастает на этом интервале. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала l, то эта функция убывает на этом интервале.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума

Определение. Tочка х₀ называется точкой минимума функции f, если найдётся такая окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности

f(x₀) f(x).

Определение. Tочка х₀ называется точкой максимума функции f, если найдётся такая окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности

f(x₀) f(x).

Точки минимума и максимума называются точками экстремумов данной функции, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Теорема (Ферма). Если х₀ является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная, она равна нулю: f '(x₀)=0.

Обращение первой производной в нуль является необходимым, но не достаточным условием экстремума.

Теорема (Первое достаточное условие существования экстремума).

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. Если при переходе через точку х₀ слева направо производная f ^/(x)меняет знак с плюса на минус, то в точке х₀ функция f(x) имеет максимум.

Если же при переходе через точку х₀ производная f ^/(x)меняет знак с минуса на плюс, то в точка х₀ является точкой минимума

у max у

f(х₀) f(х₀)

Более полным будет исследована функция, если найдем промежутки выпуклости функции с помощью второй производной.

Если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого .

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

Так, вторая производная функции равна ,откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

точка х₀ называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если х₀– точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Часто встречаются задачи, где нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Общая схема построения графиков функций:

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на четность или нечетность, периодичность.

3) Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4) Найти точки разрыва, асимптоты графика функции.

5) Исследовать функцию с помощью первой производной (Найти интервалы монотонности и экстремумы функции).

6) Исследовать функцию с помощью второй производной (Найти интервалы выпуклости и точки перегиба).

7) Найти дополнительные точки, если это необходимо.

8) Построить график, используя полученные результаты исследования.

Дата добавления: 2015-07-08