Теоретическая часть. Понятие производной является основным понятием дифференциального исчисления

Понятие производной является основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в 17 и 18вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков—И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Возникло дифференциальное исчисление при решений задач о мгновенной скорости движения материальной точки. Рассмотрим неравномерное движение материальной точки. Средняя скорость ее за промежуток времени Δt равна . Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть .

Эта и другие задачи приводят к понятию производной функции. Отношение называется разностным отношением, а его предел --производной функции S(t) и обозначается S^/(t).

Определение.Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Рис.

Функция может иметь производную в точке х₀ только тогда, когда функция определена во всех точках некоторой окрестности х₀ и говорим, что функция дифференцируема в этой точке.

Правила дифференцирования.

Пусть даны функции u, v и w.

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных:

(u+v-w)^/ = u^/+v^/-w^/ .

2. Производная произведения: (uv)^/ =u^/v+uv^/.

3. Производная частного:

4. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (Cu)^/=Cu^/.

5. Производная постоянной равна нулю: C^/=0,

Дата добавления: 2015-07-08